Um caixa de banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que atenda:
a) Nenhum cliente em 4 minutos
b) No máximo dois clientes em 2 minutos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um caixa de banco que atende 150 clientes por hora. Estamos lidando com Probabilidade, mais especificamente com a Distribuição de Poisson, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecer dentro de um intervalo de tempo fixo quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida.
Para resolver essa questão, vamos precisar:
  • Entender a Distribuição de Poisson.
  • Saber converter a taxa de atendimento para o intervalo de tempo dado.
  • Aplicar a fórmula da Distribuição de Poisson para calcular as probabilidades solicitadas.

a) Nenhum cliente em 4 minutos

Passo 2

Primeiro, precisamos ajustar a taxa de atendimento para o período de 4 minutos. A taxa dada é de 150 clientes por hora. Vamos converter 4 minutos para horas:
4 minutos = 460 horas = 115 horas

Passo 3

Agora, calculamos a taxa média ( lambda = 150 times 115 = 10 ) para 4 minutos:
Isso significa que, em média, o caixa atende 10 clientes em 4 minutos.

Passo 4

A fórmula da Distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de atender exatamente clientes.
  • é a base do logaritmo natural (~2,71828).
  • é a taxa média de ocorrência.
  • é o fatorial de .

Passo 5

Para encontrar a probabilidade de atender nenhum cliente ( P(0; 10) = e^-10 times 10^00! = e^-10 approx 4,54 times 10^-5 ):

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte: queremos saber a probabilidade de atender no máximo dois clientes em 2 minutos. Continuamos usando a Distribuição de Poisson.

Passo 7

Primeiro, convertemos 2 minutos para horas:
2 minutos = 260 horas = 130 horas

Passo 8

Calculamos a taxa média ( lambda = 150 times 130 = 5 ) para 2 minutos:
Então, em 2 minutos, o caixa atende em média 5 clientes.

Passo 9

Vamos calcular a probabilidade de atender 0, 1 ou 2 clientes e somar essas probabilidades:
P(k <= 2) = P(0; 5) + P(1; 5) + P(2; 5)

Passo 10

Calculamos cada uma dessas probabilidades:
  • Para P(0; 5) = e^-5 times 5^00! = e^-5 approx 0,0067 :
    P(1; 5) = e^-5 times 5^11! = 5e^-5 approx 0,0337
  • Para P(2; 5) = e^-5 times 5^22! = 25e^-52 approx 0,0842 :
  • Para :

Passo 11

Somando essas probabilidades:
P(k <= 2) = 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 = 0,1246

Resposta

b) A probabilidade de que o caixa atenda no máximo dois clientes em 2 minutos é aproximadamente 12,46%.

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