Um caixa de banco atende 150 clientes por hora. Qual a probabilidade de que atenda:
a) Nenhum cliente em 4 minutos
b) No máximo dois clientes em 2 minutos
a) Nenhum cliente em 4 minutos
b) No máximo dois clientes em 2 minutos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um caixa de banco que atende 150 clientes por hora. Estamos lidando com Probabilidade, mais especificamente com a Distribuição de Poisson, que é usada para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecer dentro de um intervalo de tempo fixo quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida.
Para resolver essa questão, vamos precisar:
- Entender a Distribuição de Poisson.
- Saber converter a taxa de atendimento para o intervalo de tempo dado.
- Aplicar a fórmula da Distribuição de Poisson para calcular as probabilidades solicitadas.
a) Nenhum cliente em 4 minutos
Passo 2
Primeiro, precisamos ajustar a taxa de atendimento para o período de 4 minutos. A taxa dada é de 150 clientes por hora. Vamos converter 4 minutos para horas:
Passo 3
Agora, calculamos a taxa média (
) para 4 minutos:
Isso significa que, em média, o caixa atende 10 clientes em 4 minutos.
Passo 4
A fórmula da Distribuição de Poisson é:
Onde:
-
é a probabilidade de atender exatamente clientes. -
é a base do logaritmo natural (~2,71828). -
é a taxa média de ocorrência. -
é o fatorial de .
Passo 5
Para encontrar a probabilidade de atender nenhum cliente (
):
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte: queremos saber a probabilidade de atender no máximo dois clientes em 2 minutos. Continuamos usando a Distribuição de Poisson.
Passo 7
Primeiro, convertemos 2 minutos para horas:
Passo 8
Calculamos a taxa média (
) para 2 minutos:
Então, em 2 minutos, o caixa atende em média 5 clientes.
Passo 9
Vamos calcular a probabilidade de atender 0, 1 ou 2 clientes e somar essas probabilidades:
Passo 10
Calculamos cada uma dessas probabilidades:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 11
Somando essas probabilidades:
Resposta
b) A probabilidade de que o caixa atenda no máximo dois clientes em 2 minutos é aproximadamente 12,46%.