A duração de uma lâmpada é uma variável aleatória T, cuja f.d.p. é:
f(t)=l11.000 e^-t / 1000 0 se t<0, para t >= 0 (em horas)
Calcular a probabilidade de uma lâmpada:
a) Se queimar antes de 1.000 horas.
b) Durar entre 800 e 1.200 horas.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a duração de uma lâmpada, representada pela variável aleatória f(t) = 11000 e^-t / 1000 & se t >= 0 0 & se t < 0 , com uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) definida por:
Isso significa que a duração das lâmpadas segue uma distribuição exponencial. Nosso objetivo é calcular probabilidades relacionadas ao tempo de queima dessas lâmpadas. Para isso, vamos precisar usar a função de distribuição acumulada (f.d.a.) da distribuição exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função densidade de probabilidade (f.d.p.) e uma função de distribuição acumulada (f.d.a.). A f.d.p. nos dá a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor específico, enquanto a f.d.a. nos dá a probabilidade de a variável ser menor ou igual a um certo valor.
Para a distribuição exponencial, a f.d.a. é dada por:
F(t) = 1 - e^-t/lambda
onde é o parâmetro da distribuição. No nosso caso, horas.

Passo 3

Vamos resolver a parte a) da questão: calcular a probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 1.000 horas.
Usando a f.d.a., temos:
P(T <= 1000) = F(1000) = 1 - e^-1000/1000 = 1 - e^-1
Calculando P(T <= 1000) = 1 - 0,3679 = 0,6321 aproximadamente igual a 0,3679, temos:
Portanto, a probabilidade é de aproximadamente 63,21%.

Passo 4

Agora, vamos resolver a parte b) da questão: calcular a probabilidade de uma lâmpada durar entre 800 e 1.200 horas.
Isso significa que queremos P(800 <= T <= 1200) = F(1200) - F(800) = (1 - e^-1200/1000) - (1 - e^-800/1000) . Podemos calcular isso usando a f.d.a.:
P(800 <= T <= 1200) = e^-800/1000 - e^-1200/1000
Simplificando:
P(800 <= T <= 1200) = 0,4493 - 0,3012 = 0,1481
Calculando e :
Portanto, a probabilidade é de aproximadamente 14,81%.

Resposta

a) A probabilidade de uma lâmpada queimar antes de 1.000 horas é de aproximadamente 63,21%.
b) A probabilidade de uma lâmpada durar entre 800 e 1.200 horas é de aproximadamente 14,81%.

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