O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson . Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas por segundo, qual a probabilidade de isto acontecer em qualquer dado segundo?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre partículas gama emitidas por uma substância radioativa, onde o número de partículas por segundo segue uma distribuição de Poisson com parâmetro . Precisamos descobrir a probabilidade de, em qualquer segundo, o instrumento que registra essas partículas fique inoperante, ou seja, quando são emitidas mais de 4 partículas por segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente entre si. No nosso caso, o “evento” é a emissão de uma partícula gama em um segundo.

Passo 3

A distribuição de Poisson é definida pela fórmula:
onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos,
  • é a taxa média de eventos por intervalo (neste caso, 3 partículas por segundo),
  • é a base dos logaritmos naturais,
  • é o fatorial de .

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de mais de 4 partículas serem emitidas em um segundo, ou seja, . Como a soma total das probabilidades para todos os possíveis valores de é 1, podemos calcular isso de outra forma:
Então, precisamos calcular a probabilidade de ocorrerem até 4 partículas em um segundo e subtrair esse valor de 1.

Passo 5

Vamos calcular somando as probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2, 3 e 4 partículas:
Usando a fórmula da distribuição de Poisson:

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades:
Vamos simplificar:

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Finalmente, a probabilidade de mais de 4 partículas serem emitidas em um segundo é:

Resposta

A probabilidade de o instrumento ficar inoperante em qualquer segundo é de aproximadamente , ou seja, 18,5 %.

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