O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson
. Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas por segundo, qual a probabilidade de isto acontecer em qualquer dado segundo?
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre partículas gama emitidas por uma substância radioativa, onde o número de partículas por segundo segue uma distribuição de Poisson com parâmetro
. Precisamos descobrir a probabilidade de, em qualquer segundo, o instrumento que registra essas partículas fique inoperante, ou seja, quando são emitidas mais de 4 partículas por segundo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente entre si. No nosso caso, o “evento” é a emissão de uma partícula gama em um segundo.
Passo 3
A distribuição de Poisson é definida pela fórmula:
onde:
-
é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos, -
é a taxa média de eventos por intervalo (neste caso, 3 partículas por segundo), -
é a base dos logaritmos naturais, -
é o fatorial de .
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de mais de 4 partículas serem emitidas em um segundo, ou seja,
. Como a soma total das probabilidades para todos os possíveis valores de
é 1, podemos calcular isso de outra forma:
Então, precisamos calcular a probabilidade de ocorrerem até 4 partículas em um segundo e subtrair esse valor de 1.
Passo 5
Vamos calcular
somando as probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2, 3 e 4 partículas:
Usando a fórmula da distribuição de Poisson:
Passo 6
Agora, somamos todas essas probabilidades:
Vamos simplificar:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Finalmente, a probabilidade de mais de 4 partículas serem emitidas em um segundo é:
Resposta
A probabilidade de o instrumento ficar inoperante em qualquer segundo é de aproximadamente
, ou seja, 18,5 %.