O número de partículas gama emitidas por segundo, por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson com lambda=3,0. Se um instrumento registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partículas por segundo, qual a probabilidade de isto acontecer em qualquer dado segundo?

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre partículas gama emitidas por uma substância radioativa, onde o número de partículas por segundo segue uma distribuição de Poisson com parâmetro lambda = 3,0. Precisamos descobrir a probabilidade de, em qualquer segundo, o instrumento que registra essas partículas fique inoperante, ou seja, quando são emitidas mais de 4 partículas por segundo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente entre si. No nosso caso, o “evento” é a emissão de uma partícula gama em um segundo.

Passo 3

A distribuição de Poisson é definida pela fórmula:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • P(X = k) é a probabilidade de ocorrer exatamente k eventos,
  • lambda é a taxa média de eventos por intervalo (neste caso, 3 partículas por segundo),
  • e é a base dos logaritmos naturais,
  • k! é o fatorial de k.

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de mais de 4 partículas serem emitidas em um segundo, ou seja, P(X > 4). Como a soma total das probabilidades para todos os possíveis valores de k é 1, podemos calcular isso de outra forma:
P(X > 4) = 1 - P(X <= 4)
Então, precisamos calcular a probabilidade de ocorrerem até 4 partículas em um segundo e subtrair esse valor de 1.

Passo 5

Vamos calcular P(X <= 4) somando as probabilidades de ocorrerem 0, 1, 2, 3 e 4 partículas:
P(X <= 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
Usando a fórmula da distribuição de Poisson:
P(X=0) = 3^0 e^-30! = e^-3 P(X=1) = 3^1 e^-31! = 3e^-3 P(X=2) = 3^2 e^-32! = 9e^-32 P(X=3) = 3^3 e^-33! = 27e^-36 = 9e^-32 P(X=4) = 3^4 e^-34! = 81e^-324 = 27e^-38

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades:
P(X <= 4) = e^-3 + 3e^-3 + 9e^-32 + 9e^-32 + 27e^-38
Vamos simplificar:
P(X <= 4) = e^-3 (1 + 3 + 92 + 92 + 278) = e^-3 (4 + 9 + 3.375) = e^-3 times 16.375

Passo 7

Calculando e^-3 approx 0,0498:
P(X <= 4) approx 0,0498 times 16,375 approx 0,815

Passo 8

Finalmente, a probabilidade de mais de 4 partículas serem emitidas em um segundo é:
P(X > 4) = 1 - P(X <= 4) approx 1 - 0,815 = 0,185

Resposta

A probabilidade de o instrumento ficar inoperante em qualquer segundo é de aproximadamente 0,185, ou seja, 18,5 %.

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