Uma caixa A contém uma bola vermelha e uma bola preta. Uma outra caixa B contém uma bola branca e uma vermelha. Escolhemos, ao acaso, uma das caixas e uma bola também é retirada ao acaso.
(d) Suponha agora que uma bola é retirada, ao acaso, da urna A e colocada em B. Determine a probabilidade de que em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha.
(R: ©
(d) Suponha agora que uma bola é retirada, ao acaso, da urna A e colocada em B. Determine a probabilidade de que em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha.
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Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem duas caixas: a caixa A com uma bola vermelha e uma preta, e a caixa B com uma bola branca e uma vermelha. Primeiro, vamos retirar uma bola da caixa A e colocar na caixa B. Depois, vamos fazer duas retiradas na caixa B, com reposição, e queremos saber a probabilidade de tirar pelo menos uma bola vermelha nessas duas tentativas. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como eventos independentes e a regra do complemento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece quando movemos uma bola da caixa A para a caixa B. A caixa A tem duas bolas: uma vermelha e uma preta. Então, a probabilidade de tirar a bola vermelha é
e a de tirar a preta também é
.
Passo 3
Vamos considerar os dois cenários possíveis após mover uma bola da caixa A para a caixa B:
-
Movemos a bola vermelha de A para B:
- Agora, a caixa B tem duas bolas vermelhas e uma branca.
- A probabilidade de tirar uma bola vermelha em cada retirada é
.
-
Movemos a bola preta de A para B:
- Agora, a caixa B tem uma bola vermelha, uma preta e uma branca.
- A probabilidade de tirar uma bola vermelha em cada retirada é
.
Passo 4
Queremos a probabilidade de tirar pelo menos uma bola vermelha nas duas retiradas da caixa B. É mais fácil calcular o complemento dessa probabilidade, ou seja, a probabilidade de não tirar nenhuma bola vermelha nas duas retiradas, e depois subtrair esse valor de 1.
Passo 5
Vamos calcular para cada cenário:
-
Se movemos a vermelha para B:
- Probabilidade de não tirar uma vermelha em uma retirada:
. - Como são duas retiradas independentes:
.
- Probabilidade de não tirar uma vermelha em uma retirada:
-
Se movemos a preta para B:
- Probabilidade de não tirar uma vermelha em uma retirada:
. - Para duas retiradas:
.
- Probabilidade de não tirar uma vermelha em uma retirada:
Passo 6
Agora, vamos considerar as probabilidades de cada cenário ocorrer:
-
Movendo a vermelha para B:
- Probabilidade de não tirar nenhuma vermelha:
. - Probabilidade de mover a vermelha:
.
- Probabilidade de não tirar nenhuma vermelha:
-
Movendo a preta para B:
- Probabilidade de não tirar nenhuma vermelha:
. - Probabilidade de mover a preta:
.
- Probabilidade de não tirar nenhuma vermelha:
Passo 7
A probabilidade total de não tirar nenhuma vermelha é:
Passo 8
Finalmente, a probabilidade de tirar pelo menos uma vermelha é o complemento dessa probabilidade:
Resposta
A probabilidade de obter pelo menos uma bola vermelha nas duas retiradas é
.
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b)
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do cliente
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do cliente C,
do cliente D e
do cliente E.
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(a) (R:0,02875) (b) (R: 0,5565)
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(a) (R:0,02875) (b) (R: 0,5565)
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