Uma caixa A contém uma bola vermelha e uma bola preta. Uma outra caixa B contém uma bola branca e uma vermelha. Escolhemos, ao acaso, uma das caixas e uma bola também é retirada ao acaso.
(d) Suponha agora que uma bola é retirada, ao acaso, da urna A e colocada em B. Determine a probabilidade de que em duas retiradas em B, ao acaso e com reposição, obtermos pelo menos uma bola vermelha.
(R: © 5 / 6(d) 13 / 18)

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem duas caixas: a caixa A com uma bola vermelha e uma preta, e a caixa B com uma bola branca e uma vermelha. Primeiro, vamos retirar uma bola da caixa A e colocar na caixa B. Depois, vamos fazer duas retiradas na caixa B, com reposição, e queremos saber a probabilidade de tirar pelo menos uma bola vermelha nessas duas tentativas. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de probabilidade, como eventos independentes e a regra do complemento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece quando movemos uma bola da caixa A para a caixa B. A caixa A tem duas bolas: uma vermelha e uma preta. Então, a probabilidade de tirar a bola vermelha é e a de tirar a preta também é .

Passo 3

Vamos considerar os dois cenários possíveis após mover uma bola da caixa A para a caixa B:
  1. Movemos a bola vermelha de A para B:
    • Agora, a caixa B tem duas bolas vermelhas e uma branca.
    • A probabilidade de tirar uma bola vermelha em cada retirada é .
  2. Movemos a bola preta de A para B:
    • Agora, a caixa B tem uma bola vermelha, uma preta e uma branca.
    • A probabilidade de tirar uma bola vermelha em cada retirada é .

Passo 4

Queremos a probabilidade de tirar pelo menos uma bola vermelha nas duas retiradas da caixa B. É mais fácil calcular o complemento dessa probabilidade, ou seja, a probabilidade de não tirar nenhuma bola vermelha nas duas retiradas, e depois subtrair esse valor de 1.

Passo 5

Vamos calcular para cada cenário:
  1. Se movemos a vermelha para B:
    • Probabilidade de não tirar uma vermelha em uma retirada: .
    • Como são duas retiradas independentes: .
  2. Se movemos a preta para B:
    • Probabilidade de não tirar uma vermelha em uma retirada: .
    • Para duas retiradas: .

Passo 6

Agora, vamos considerar as probabilidades de cada cenário ocorrer:
  1. Movendo a vermelha para B:
    • Probabilidade de não tirar nenhuma vermelha: .
    • Probabilidade de mover a vermelha: .
  2. Movendo a preta para B:
    • Probabilidade de não tirar nenhuma vermelha: .
    • Probabilidade de mover a preta: .

Passo 7

A probabilidade total de não tirar nenhuma vermelha é:
( 12 times 19 ) + ( 12 times 49 ) = 118 + 418 = 518

Passo 8

Finalmente, a probabilidade de tirar pelo menos uma vermelha é o complemento dessa probabilidade:
1 - 518 = 1318

Resposta

A probabilidade de obter pelo menos uma bola vermelha nas duas retiradas é .

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