Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
a) a distribuição de probabilidade da variável aleatória X

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma caixa com 3 bolas brancas e 1 preta. Uma pessoa vai pegar as bolas uma por uma até tirar a preta. Queremos descobrir a distribuição de probabilidade da variável aleatória , que representa o número de tentativas necessárias para pegar a bola preta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade sem reposição, já que as bolas não são colocadas de volta na caixa após serem retiradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que pode assumir. Como temos 4 bolas no total, a pessoa pode precisar de 1, 2, 3 ou 4 tentativas para pegar a bola preta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários:
  • P(X = 1) = 14 : A bola preta é a primeira retirada.
    A probabilidade disso acontecer é simplesmente a proporção de bolas pretas na caixa:
    34
  • 13 : A primeira bola é branca e a segunda é preta.
    Primeiro, a probabilidade de tirar uma branca:
    P(X = 2) = 34 times 13 = 14
    Em seguida, após tirar uma branca, restam 3 bolas (2 brancas e 1 preta). A probabilidade de tirar a preta agora é:
    34
    Então, a probabilidade total é:
    23
  • 12 : As duas primeiras bolas são brancas e a terceira é preta.
    Primeiro, tirar uma branca:
    P(X = 3) = 34 times 23 times 12 = 14
    Depois, tirar outra branca:
    34
    E finalmente, tirar a preta:
    23
    Multiplicando as probabilidades:
    12
  • 1 : As três primeiras bolas são brancas e a quarta é preta.
    Primeiro, tirar uma branca:
    P(X = 4) = 34 times 23 times 12 times 1 = 14
    Depois, tirar outra branca:
    E mais uma branca:
    Finalmente, a última bola será preta:
    Multiplicando tudo:

Resposta

A distribuição de probabilidade da variável aleatória P(X = 1) = 14 é:
P(X = 2) = 14
P(X = 3) = 14
P(X = 4) = 14
Ou seja, cada número de tentativas de 1 a 4 tem a mesma probabilidade de .

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