Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
a) a distribuição de probabilidade da variável aleatória X
a) a distribuição de probabilidade da variável aleatória X
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma caixa com 3 bolas brancas e 1 preta. Uma pessoa vai pegar as bolas uma por uma até tirar a preta. Queremos descobrir a distribuição de probabilidade da variável aleatória
, que representa o número de tentativas necessárias para pegar a bola preta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade sem reposição, já que as bolas não são colocadas de volta na caixa após serem retiradas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que
pode assumir. Como temos 4 bolas no total, a pessoa pode precisar de 1, 2, 3 ou 4 tentativas para pegar a bola preta.
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários:
-
: A bola preta é a primeira retirada. A probabilidade disso acontecer é simplesmente a proporção de bolas pretas na caixa: -
: A primeira bola é branca e a segunda é preta. Primeiro, a probabilidade de tirar uma branca:Em seguida, após tirar uma branca, restam 3 bolas (2 brancas e 1 preta). A probabilidade de tirar a preta agora é:Então, a probabilidade total é: -
: As duas primeiras bolas são brancas e a terceira é preta. Primeiro, tirar uma branca:Depois, tirar outra branca:E finalmente, tirar a preta:Multiplicando as probabilidades: -
: As três primeiras bolas são brancas e a quarta é preta. Primeiro, tirar uma branca:Depois, tirar outra branca:E mais uma branca:Finalmente, a última bola será preta:Multiplicando tudo:
Resposta
A distribuição de probabilidade da variável aleatória
é:
Ou seja, cada número de tentativas de 1 a 4 tem a mesma probabilidade de
.