Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
a) a distribuição de probabilidade da variável aleatória X

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma caixa com 3 bolas brancas e 1 preta. Uma pessoa vai pegar as bolas uma por uma até tirar a preta. Queremos descobrir a distribuição de probabilidade da variável aleatória , que representa o número de tentativas necessárias para pegar a bola preta. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade sem reposição, já que as bolas não são colocadas de volta na caixa após serem retiradas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os possíveis valores que pode assumir. Como temos 4 bolas no total, a pessoa pode precisar de 1, 2, 3 ou 4 tentativas para pegar a bola preta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários:
  • : A bola preta é a primeira retirada.
    A probabilidade disso acontecer é simplesmente a proporção de bolas pretas na caixa:
  • : A primeira bola é branca e a segunda é preta.
    Primeiro, a probabilidade de tirar uma branca:
    Em seguida, após tirar uma branca, restam 3 bolas (2 brancas e 1 preta). A probabilidade de tirar a preta agora é:
    Então, a probabilidade total é:
  • : As duas primeiras bolas são brancas e a terceira é preta.
    Primeiro, tirar uma branca:
    Depois, tirar outra branca:
    E finalmente, tirar a preta:
    Multiplicando as probabilidades:
  • : As três primeiras bolas são brancas e a quarta é preta.
    Primeiro, tirar uma branca:
    Depois, tirar outra branca:
    E mais uma branca:
    Finalmente, a última bola será preta:
    Multiplicando tudo:

Resposta

A distribuição de probabilidade da variável aleatória é:
Ou seja, cada número de tentativas de 1 a 4 tem a mesma probabilidade de .

Exercícios relacionados

Em janeiro de 2003 o trabalhador norte-americano passou em média 77 horas conectado à internet enquanto se encontrava no trabalho (CNBC, 15 de março de 2003). Suponha que os tempos estejam normalmente distribuídos e que a variância seja de 400 horas .
a) Qual é a probabilidade de um trabalhador de um trabalhador escolhido aleatoriamente passar menos de 50 horas conectado à internet?
A média de preço das ações das empresas que compõem a é e o desvio padrão é (Business Week, edição especial anual, primavera de 2003). Suponha que os preços das ações se distribuam normalmente.
b) Qual é a probabilidade de uma empresa ter um preço de, no máximo, para suas ações?
Seja uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre em cada uma das situações a seguir.
f) A área entre e é 0,9030 .
Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
c) Suponha que as retiradas sejam feitas com reposição. Nessas condições, como seria a função de probabilidade da variável aleatória X?