Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
c) Suponha que as retiradas sejam feitas com reposição. Nessas condições, como seria a função de probabilidade da variável aleatória X?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma caixa com 3 bolas brancas e 1 preta. Uma pessoa vai tirar as bolas uma por uma, com reposição, ou seja, depois de tirar uma bola, ela coloca de volta na caixa antes da próxima tentativa. Queremos descobrir qual é a função de probabilidade da variável aleatória , que representa o número de tentativas necessárias para tirar a bola preta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa remoção com reposição. Isso quer dizer que a cada tentativa, a probabilidade de tirar uma bola preta ou branca permanece a mesma, pois a composição da caixa não muda.

Passo 3

Como há 3 bolas brancas e 1 preta, o total de bolas é 4. A probabilidade de tirar uma bola preta em qualquer tentativa é:
E a probabilidade de tirar uma bola branca é:

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de precisar de exatamente tentativas para tirar a primeira bola preta. Isso significa que nas primeiras tentativas, foram tiradas bolas brancas, e na -ésima tentativa, tiramos a preta.

Passo 5

Para isso, usamos a distribuição geométrica, que modela o número de tentativas até o primeiro sucesso em experimentos de Bernoulli independentes (com reposição, as tentativas são independentes).
A fórmula da distribuição geométrica é:
Onde é a probabilidade de sucesso em cada tentativa.

Passo 6

No nosso caso, o “sucesso” é tirar a bola preta, então . Substituindo na fórmula:

Resposta

A função de probabilidade da variável aleatória é:

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Seja uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre em cada uma das situações a seguir.
f) A área entre e é 0,9030 .
Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
a) a distribuição de probabilidade da variável aleatória X
Uma caixa contém 4 bolas brancas e 3 pretas. Estabeleça a distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas uma a uma sem reposição até sair a última bola preta. Calcule a esperança e o desvio padrão dessa variável aleatória.
Seja uma variável aleatória contínua tal que . Calcule as seguintes probabilidades:
b) .