Uma caixa contém 4 bolas brancas e 3 pretas. Estabeleça a distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas uma a uma sem reposição até sair a última bola preta. Calcule a esperança e o desvio padrão dessa variável aleatória.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre probabilidade e estatística, especificamente sobre distribuição de probabilidade, esperança e desvio padrão. A gente tem uma caixa com 4 bolas brancas e 3 pretas, totalizando 7 bolas. Queremos saber a distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas, uma a uma, sem reposição, até tirar a última bola preta. Depois, calcular a esperança e o desvio padrão dessa variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “a última bola preta ser retirada”. Isso quer dizer que queremos saber em que passo (ou retirada) ocorre a última das 3 bolas pretas. Nosso objetivo é encontrar a distribuição de probabilidade dessa retirada específica.

Passo 3

Vamos chamar essa variável aleatória de , que representa o número de retiradas até tirar a última bola preta. Como temos 3 bolas pretas e 4 brancas, o mínimo de retiradas necessárias para tirar a última preta é 3 (se todas as pretas forem retiradas primeiro) e o máximo é 7 (se a última bola retirada for preta).

Passo 4

Para encontrar , onde é o número de retiradas, usamos a combinação de como as bolas podem ser organizadas. Especificamente, queremos que a -ésima retirada seja a terceira e última bola preta, e que nas primeiras retiradas haja exatamente 2 bolas pretas.

Passo 5

A probabilidade P(X = k) = dbinomk-12 times dbinom7 - k4 - (k - 3)dbinom73 pode ser calculada usando a fórmula:
P(X = k) = dbinomk-12dbinom73
Mas vamos simplificar. A probabilidade de a última preta estar na posição é:
Isso porque estamos escolhendo 2 pretas nas primeiras posições e a terceira preta na posição .

Passo 6

Calculando isso para cada P(X = 3) = dbinom22dbinom73 = 135 de 3 a 7:
  • Para P(X = 4) = dbinom32dbinom73 = 335 :
P(X = 5) = dbinom42dbinom73 = 635
  • Para P(X = 6) = dbinom52dbinom73 = 1035 :
P(X = 7) = dbinom62dbinom73 = 1535
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, temos a distribuição de probabilidade:
c|c k & P(X = k) hline 3 & 135 4 & 335 5 & 635 6 & 1035 7 & 1535

Passo 8

Vamos simplificar as frações:
c|c k & P(X = k) hline 3 & 135 4 & 335 5 & 635 6 & 27 7 & 37

Passo 9

Agora, vamos calcular a esperança E(X) = sumk=3^7 k times P(X = k) = 3 times 135 + 4 times 335 + 5 times 635 + 6 times 1035 + 7 times 1535 , que é a média esperada das retiradas:
E(X) = 335 + 1235 + 3035 + 6035 + 10535 = 21035 = 6
Calculando:

Passo 10

Para o desvio padrão, primeiro calculamos a variância Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 :
E(X^2) = sumk=3^7 k^2 times P(X = k) = 3^2 times 135 + 4^2 times 335 + 5^2 times 635 + 6^2 times 1035 + 7^2 times 1535
Primeiro, calculamos E(X^2) = 935 + 4835 + 15035 + 36035 + 73535 = 130235 approx 37.2 :
Var(X) = 37.2 - 6^2 = 37.2 - 36 = 1.2
Calculando:
Desvio;Padrão = raiz1.2 approx 1.095
Agora, a variância:
Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
ã

Resposta

A distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas até tirar a última preta é:
c|c k & P(X = k) hline 3 & 135 4 & 335 5 & 635 6 & 27 7 & 37
A esperança dessa variável aleatória é e o desvio padrão é aproximadamente .

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