Uma caixa contém 4 bolas brancas e 3 pretas. Estabeleça a distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas uma a uma sem reposição até sair a última bola preta. Calcule a esperança e o desvio padrão dessa variável aleatória.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre probabilidade e estatística, especificamente sobre distribuição de probabilidade, esperança e desvio padrão. A gente tem uma caixa com 4 bolas brancas e 3 pretas, totalizando 7 bolas. Queremos saber a distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas, uma a uma, sem reposição, até tirar a última bola preta. Depois, calcular a esperança e o desvio padrão dessa variável aleatória.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “a última bola preta ser retirada”. Isso quer dizer que queremos saber em que passo (ou retirada) ocorre a última das 3 bolas pretas. Nosso objetivo é encontrar a distribuição de probabilidade dessa retirada específica.

Passo 3

Vamos chamar essa variável aleatória de , que representa o número de retiradas até tirar a última bola preta. Como temos 3 bolas pretas e 4 brancas, o mínimo de retiradas necessárias para tirar a última preta é 3 (se todas as pretas forem retiradas primeiro) e o máximo é 7 (se a última bola retirada for preta).

Passo 4

Para encontrar , onde é o número de retiradas, usamos a combinação de como as bolas podem ser organizadas. Especificamente, queremos que a -ésima retirada seja a terceira e última bola preta, e que nas primeiras retiradas haja exatamente 2 bolas pretas.

Passo 5

A probabilidade pode ser calculada usando a fórmula:
Mas vamos simplificar. A probabilidade de a última preta estar na posição é:
Isso porque estamos escolhendo 2 pretas nas primeiras posições e a terceira preta na posição .

Passo 6

Calculando isso para cada de 3 a 7:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora, temos a distribuição de probabilidade:

Passo 8

Vamos simplificar as frações:

Passo 9

Agora, vamos calcular a esperança , que é a média esperada das retiradas:
Calculando:

Passo 10

Para o desvio padrão, primeiro calculamos a variância :
Primeiro, calculamos :
Calculando:
Agora, a variância:
Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
ã

Resposta

A distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas até tirar a última preta é:
A esperança dessa variável aleatória é e o desvio padrão é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
c) Suponha que as retiradas sejam feitas com reposição. Nessas condições, como seria a função de probabilidade da variável aleatória X?
Seja uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre em cada uma das situações a seguir.
f) A área entre e é 0,9030 .
Seja uma variável aleatória contínua tal que . Calcule as seguintes probabilidades:
b) .
De uma caixa que contém 7 peças das quais 4 são defeituosas, retirou-se, sem reposição, 3 peças. Defina . de peças defeituosas entre as retiradas. Determine:
a) a distribuição de probabilidade de X .