Uma caixa contém 4 bolas brancas e 3 pretas. Estabeleça a distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas uma a uma sem reposição até sair a última bola preta. Calcule a esperança e o desvio padrão dessa variável aleatória.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado fala sobre probabilidade e estatística, especificamente sobre distribuição de probabilidade, esperança e desvio padrão. A gente tem uma caixa com 4 bolas brancas e 3 pretas, totalizando 7 bolas. Queremos saber a distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas, uma a uma, sem reposição, até tirar a última bola preta. Depois, calcular a esperança e o desvio padrão dessa variável aleatória.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “a última bola preta ser retirada”. Isso quer dizer que queremos saber em que passo (ou retirada) ocorre a última das 3 bolas pretas. Nosso objetivo é encontrar a distribuição de probabilidade dessa retirada específica.
Passo 3
Vamos chamar essa variável aleatória de
, que representa o número de retiradas até tirar a última bola preta. Como temos 3 bolas pretas e 4 brancas, o mínimo de retiradas necessárias para tirar a última preta é 3 (se todas as pretas forem retiradas primeiro) e o máximo é 7 (se a última bola retirada for preta).
Passo 4
Para encontrar
, onde
é o número de retiradas, usamos a combinação de como as bolas podem ser organizadas. Especificamente, queremos que a
-ésima retirada seja a terceira e última bola preta, e que nas primeiras
retiradas haja exatamente 2 bolas pretas.
Passo 5
A probabilidade
pode ser calculada usando a fórmula:
Mas vamos simplificar. A probabilidade de a última preta estar na posição
é:
Isso porque estamos escolhendo 2 pretas nas primeiras
posições e a terceira preta na posição
.
Passo 6
Calculando isso para cada
de 3 a 7:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, temos a distribuição de probabilidade:
Passo 8
Vamos simplificar as frações:
Passo 9
Agora, vamos calcular a esperança
, que é a média esperada das retiradas:
Calculando:
Passo 10
Para o desvio padrão, primeiro calculamos a variância
:
Primeiro, calculamos
:
Calculando:
Agora, a variância:
Finalmente, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
A distribuição de probabilidade do número de bolas retiradas até tirar a última preta é:
A esperança dessa variável aleatória é
e o desvio padrão é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
c) Suponha que as retiradas sejam feitas com reposição. Nessas condições, como seria a função de probabilidade da variável aleatória X?
c) Suponha que as retiradas sejam feitas com reposição. Nessas condições, como seria a função de probabilidade da variável aleatória X?
Seja
uma variável aleatória com distribuição normal padrão. Encontre
em cada uma das situações a seguir.
f) A área entre e
é 0,9030 .
f) A área entre
Seja
uma variável aleatória contínua tal que
. Calcule as seguintes probabilidades:
b) .
b)
De uma caixa que contém 7 peças das quais 4 são defeituosas, retirou-se, sem reposição, 3 peças. Defina
. de peças defeituosas entre as retiradas. Determine:
a) a distribuição de probabilidade de X .
a) a distribuição de probabilidade de X .