Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
b) a esperança e a variância da variável aleatória X

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma caixa com 3 bolas brancas e 1 bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma até puxar a preta. Queremos descobrir a esperança (ou valor esperado) e a variância da variável aleatória , que representa o número de tentativas necessárias para tirar a bola preta. Vamos usar conceitos de probabilidade e estatística para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as possíveis posições em que a bola preta pode ser retirada. Como temos 4 bolas no total (3 brancas e 1 preta), a bola preta pode estar na 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª tentativa. Cada uma dessas posições é igualmente provável.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de a bola preta estar em cada uma dessas posições. Como todas as posições são igualmente prováveis, a probabilidade de a bola preta estar em qualquer posição específica é:
P(X = k) = 14 para k = 1, 2, 3, 4

Passo 4

Agora, vamos calcular a esperança E[X] = sumk=1^4 k cdot P(X = k) = 1 cdot 14 + 2 cdot 14 + 3 cdot 14 + 4 cdot 14 = 104 = 2,5 . A esperança é o valor médio esperado de e é calculada da seguinte forma:

Passo 5

Em seguida, vamos calcular a variância E[X^2] = sumk=1^4 k^2 cdot P(X = k) = 1^2 cdot 14 + 2^2 cdot 14 + 3^2 cdot 14 + 4^2 cdot 14 = 304 = 7,5 . Primeiro, precisamos encontrar Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 7,5 - (2,5)^2 = 7,5 - 6,25 = 1,25 :
Agora, a variância é dada por:

Resposta

A esperança da variável aleatória é 2,5 e a variância é 1,25.

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