Uma caixa contém 3 bolas brancas e uma bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma, até conseguir apanhar a bola preta. Seja X o número de tentativas que serão necessárias. Determine:
b) a esperança e a variância da variável aleatória
b) a esperança e a variância da variável aleatória
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma caixa com 3 bolas brancas e 1 bola preta. Uma pessoa vai retirar as bolas uma por uma até puxar a preta. Queremos descobrir a esperança (ou valor esperado) e a variância da variável aleatória
, que representa o número de tentativas necessárias para tirar a bola preta. Vamos usar conceitos de probabilidade e estatística para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as possíveis posições em que a bola preta pode ser retirada. Como temos 4 bolas no total (3 brancas e 1 preta), a bola preta pode estar na 1ª, 2ª, 3ª ou 4ª tentativa. Cada uma dessas posições é igualmente provável.
Passo 3
Vamos calcular a probabilidade de a bola preta estar em cada uma dessas posições. Como todas as posições são igualmente prováveis, a probabilidade de a bola preta estar em qualquer posição específica é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a esperança
. A esperança é o valor médio esperado de
e é calculada da seguinte forma:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular a variância
. Primeiro, precisamos encontrar
:
Agora, a variância é dada por:
Resposta
A esperança da variável aleatória
é 2,5 e a variância é 1,25.