Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha
; se elas tiverem cores diferentes, você ganha
(isto é, você perde
). Calcule:
(a) o valor esperado da quantia que você ganha;
(a) o valor esperado da quantia que você ganha;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade e valor esperado juntos! A gente tem uma caixa com 5 bolas vermelhas e 5 azuis, totalizando 10 bolas. A gente vai tirar duas bolas aleatoriamente e ver quanto a gente ganha baseado na cor delas. Para resolver isso, vamos precisar entender de combinações e como calcular o valor esperado usando as probabilidades de cada caso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o número total de jeitos de tirar 2 bolas de uma caixa com 10 bolas. Isso é uma combinação, porque a ordem não importa. A fórmula para combinações é:
Aqui,
e
, então:
Então, há 45 maneiras diferentes de tirar 2 bolas.
Passo 3
Agora, vamos ver quantas dessas combinações resultam em duas bolas da mesma cor. Primeiro, as vermelhas. Tem 5 vermelhas, então o número de jeitos de tirar 2 vermelhas é:
Mesma coisa para as azuis:
Então, no total, temos
maneiras de tirar duas bolas da mesma cor.
Passo 4
Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar duas bolas da mesma cor. Já sabemos que há 20 jeitos favoráveis em 45 possíveis. Então:
A probabilidade de tirar bolas de cores diferentes é o complemento disso:
Passo 5
Agora que temos as probabilidades, vamos calcular o valor esperado. O valor esperado
é dado por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos calcular cada parte:
Agora, somando os dois resultados:
Resposta
O valor esperado da quantia que você ganha é de aproximadamente -R$0,07.