Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha R ; se elas tiverem cores diferentes, você ganha ; se elas tiverem cores diferentes, você ganha (isto é, você perde 1,00 ). Calcule:
(a) o valor esperado da quantia que você ganha;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade e valor esperado juntos! A gente tem uma caixa com 5 bolas vermelhas e 5 azuis, totalizando 10 bolas. A gente vai tirar duas bolas aleatoriamente e ver quanto a gente ganha baseado na cor delas. Para resolver isso, vamos precisar entender de combinações e como calcular o valor esperado usando as probabilidades de cada caso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de jeitos de tirar 2 bolas de uma caixa com 10 bolas. Isso é uma combinação, porque a ordem não importa. A fórmula para combinações é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, C(10, 2) = 10!2!(10 - 2)! = 10 times 92 times 1 = 45 e , então:
Então, há 45 maneiras diferentes de tirar 2 bolas.

Passo 3

Agora, vamos ver quantas dessas combinações resultam em duas bolas da mesma cor. Primeiro, as vermelhas. Tem 5 vermelhas, então o número de jeitos de tirar 2 vermelhas é:
C(5, 2) = 5!2!(5 - 2)! = 5 times 42 times 1 = 10
Mesma coisa para as azuis:
C(5, 2) = 10
Então, no total, temos maneiras de tirar duas bolas da mesma cor.

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar duas bolas da mesma cor. Já sabemos que há 20 jeitos favoráveis em 45 possíveis. Então:
P(mesma cor) = 2045 = 49
A probabilidade de tirar bolas de cores diferentes é o complemento disso:
P(cores diferentes) = 1 - 49 = 59

Passo 5

Agora que temos as probabilidades, vamos calcular o valor esperado. O valor esperado E = (probabilidade de ganhar R$1,10) times R$1,10 + (probabilidade de perder R$1,00) times (-R$1,00) é dado por:
E = (49) times 1,10 + (59) times (-1,00)
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos calcular cada parte:
(49) times 1,10 = 4 times 1,109 = 4,409 approx 0,49
(59) times (-1,00) = -5,009 approx -0,56
Agora, somando os dois resultados:
0,49 - 0,56 = -0,07

Resposta

O valor esperado da quantia que você ganha é de aproximadamente -R$0,07.

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