Seja . Determine
(f)Obtenha a função de distribuição acumulada de usando o R. Esboce seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros (número de tentativas) e (probabilidade de sucesso em cada tentativa). O que precisamos fazer aqui é obter a função de distribuição acumulada (CDF) de usando o R e, depois, desenhar o gráfico dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada. A CDF de uma variável aleatória nos dá a probabilidade de que seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, é expressa como:
Para a distribuição binomial, podemos calcular essa probabilidade somando as probabilidades de ser 0, 1, 2, …, até .

Passo 3

No R, para trabalhar com a distribuição binomial, usamos funções específicas. A função que nos dá a CDF é a pbinom(). A sintaxe básica é:
pbinom(q, size, prob)
Onde:
  • q é o valor para o qual queremos calcular a CDF.
  • size é o número de tentativas .
  • prob é a probabilidade de sucesso em cada tentativa .

Passo 4

Vamos calcular a CDF para todos os valores possíveis de na distribuição binomial com e . Os possíveis valores de são 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Vamos criar um vetor com esses valores e, em seguida, calcular a CDF para cada um deles.

Passo 5

Aqui está o código em R para calcular a CDF e plotar o gráfico:
# Definindo os parâmetros
n <- 5
p <- 0.3

# Valores possíveis de X
k <- 0:n

# Calculando a CDF para cada valor de k
cdf <- pbinom(k, size = n, prob = p)

# Mostrando a tabela de k e CDF
data.frame(k, CDF = cdf)

# Plotando o gráfico da CDF
plot(k, cdf, type = "s", 
     main = "Função de Distribuição Acumulada de X ~ Bin(5, 0.3)",
     xlab = "k", ylab = "P(X ≤ k)",
     ylim = c(0,1))

Passo 6

Vamos explicar o que cada parte do código faz:
  • Definindo os parâmetros: Aqui, estabelecemos e .
  • Valores possíveis de : Criamos um vetor k que vai de 0 a 5, que são os possíveis resultados de .
  • Calculando a CDF: Usamos a função pbinom() para calcular a probabilidade acumulada até cada valor de .
  • Mostrando a tabela: Criamos uma tabela que mostra cada valor de junto com sua respectiva CDF.
  • Plotando o gráfico: Utilizamos a função plot() para desenhar o gráfico da CDF. O parâmetro type = "s" cria uma linha em forma de escada, que é característica da CDF.

Passo 7

Depois de rodar esse código no R, você verá uma tabela com os valores de e suas respectivas CDFs, além de um gráfico que mostra como a probabilidade acumulada aumenta conforme aumenta.

Resposta

A função de distribuição acumulada de foi obtida utilizando a função pbinom() no R, e o gráfico correspondente foi esboçado conforme o código apresentado. A tabela resultante e o gráfico mostram como a probabilidade acumulada varia para cada valor de de 0 a 5.

Exercícios relacionados

Se a função distribuição acumulada de é dada por:
Calcule a função de probabilidade .
Uma caixa contém 5 bolas de gude vermelhas e 5 azuis. Duas bolas de gude são retiradas aleatoriamente. Se elas tiverem a mesma cor, você ganha ; se elas tiverem cores diferentes, você ganha (isto é, você perde ). Calcule:
(b) a variância da quantia que você ganha
Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
(b) em que .