Seja . Determine
(f)Obtenha a função de distribuição acumulada de usando o R. Esboce seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com parâmetros (número de tentativas) e (probabilidade de sucesso em cada tentativa). O que precisamos fazer aqui é obter a função de distribuição acumulada (CDF) de usando o R e, depois, desenhar o gráfico dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função de distribuição acumulada. A CDF de uma variável aleatória nos dá a probabilidade de que seja menor ou igual a um certo valor . Matematicamente, é expressa como:
Para a distribuição binomial, podemos calcular essa probabilidade somando as probabilidades de ser 0, 1, 2, …, até .
Passo 3
No R, para trabalhar com a distribuição binomial, usamos funções específicas. A função que nos dá a CDF é a pbinom(). A sintaxe básica é:
pbinom(q, size, prob)
Onde:
q é o valor para o qual queremos calcular a CDF.
size é o número de tentativas .
prob é a probabilidade de sucesso em cada tentativa .
Passo 4
Vamos calcular a CDF para todos os valores possíveis de na distribuição binomial com e . Os possíveis valores de são 0, 1, 2, 3, 4 e 5. Vamos criar um vetor com esses valores e, em seguida, calcular a CDF para cada um deles.
Passo 5
Aqui está o código em R para calcular a CDF e plotar o gráfico:
# Definindo os parâmetros
n <- 5
p <- 0.3
# Valores possíveis de X
k <- 0:n
# Calculando a CDF para cada valor de k
cdf <- pbinom(k, size = n, prob = p)# Mostrando a tabela de k e CDF
data.frame(k, CDF = cdf)# Plotando o gráfico da CDF
plot(k, cdf, type ="s",
main ="Função de Distribuição Acumulada de X ~ Bin(5, 0.3)",
xlab ="k", ylab ="P(X ≤ k)",
ylim =c(0,1))
Passo 6
Vamos explicar o que cada parte do código faz:
Definindo os parâmetros: Aqui, estabelecemos e .
Valores possíveis de : Criamos um vetor k que vai de 0 a 5, que são os possíveis resultados de .
Calculando a CDF: Usamos a função pbinom() para calcular a probabilidade acumulada até cada valor de .
Mostrando a tabela: Criamos uma tabela que mostra cada valor de junto com sua respectiva CDF.
Plotando o gráfico: Utilizamos a função plot() para desenhar o gráfico da CDF. O parâmetro type = "s" cria uma linha em forma de escada, que é característica da CDF.
Passo 7
Depois de rodar esse código no R, você verá uma tabela com os valores de e suas respectivas CDFs, além de um gráfico que mostra como a probabilidade acumulada aumenta conforme aumenta.
Resposta
A função de distribuição acumulada de foi obtida utilizando a função pbinom() no R, e o gráfico correspondente foi esboçado conforme o código apresentado. A tabela resultante e o gráfico mostram como a probabilidade acumulada varia para cada valor de de 0 a 5.