Um homem diz ter percepção extrassensorial. Como um teste, uma moeda honesta é jogada 10 vezes e pede-se ao homem que preveja o resultado. Ele acerta 7 vezes em 10. Qual é a probabilidade de que ele consiga o mesmo índice de acertos mesmo não tendo percepção extrassensorial?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre um cara que afirma ter percepção extrassensorial. Para testar isso, uma moeda justa é jogada 10 vezes, e ele tenta prever o resultado de cada jogada. Ele acertou 7 vezes de 10. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade dele acertar exatamente 7 vezes sem ter essa percepção especial. Vamos usar a teoria das probabilidades, especialmente a distribuição binomial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, entendamos a distribuição binomial. Ela é usada para calcular a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem duas opções (como cara ou coroa) e a probabilidade de sucesso é a mesma em todas as tentativas.

Passo 3

Aqui, temos 10 jogadas (tentativas) e a probabilidade de acertar (sucesso) em cada jogada é de 50% ou 0,5, já que a moeda é justa.

Passo 4

A fórmula da distribuição binomial é:
P(X = k) = C(n, k) times p^k times (1 - p)^n - k
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente sucessos.
  • é a combinação de elementos tomados a (também escrita como ).
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é o número total de tentativas.

Passo 5

No nosso caso:
  • C(10, 7) = binom107 = 10!7! times (10-7)! = 10 times 9 times 83 times 2 times 1 = 120 (jogadas)
  • (acertos)
Vamos calcular :

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula:
P(X = 7) = 120 times (0,5)^7 times (0,5)^3 = 120 times (0,5)^10
Sabemos que P(X = 7) = 120 times 11024 = 1201024 = 15128 approx 0,117 , então:

Resposta

A probabilidade de ele acertar exatamente 7 vezes sem ter percepção extrassensorial é de aproximadamente 11,7%.

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