Um homem diz ter percepção extrassensorial. Como um teste, uma moeda honesta é jogada 10 vezes e pede-se ao homem que preveja o resultado. Ele acerta 7 vezes em 10. Qual é a probabilidade de que ele consiga o mesmo índice de acertos mesmo não tendo percepção extrassensorial?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre um cara que afirma ter percepção extrassensorial. Para testar isso, uma moeda justa é jogada 10 vezes, e ele tenta prever o resultado de cada jogada. Ele acertou 7 vezes de 10. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade dele acertar exatamente 7 vezes sem ter essa percepção especial. Vamos usar a teoria das probabilidades, especialmente a distribuição binomial, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, entendamos a distribuição binomial. Ela é usada para calcular a probabilidade de ocorrer um certo número de sucessos em um número fixo de tentativas, quando cada tentativa tem duas opções (como cara ou coroa) e a probabilidade de sucesso é a mesma em todas as tentativas.

Passo 3

Aqui, temos 10 jogadas (tentativas) e a probabilidade de acertar (sucesso) em cada jogada é de 50% ou 0,5, já que a moeda é justa.

Passo 4

A fórmula da distribuição binomial é:
Onde:
  • é a probabilidade de exatamente sucessos.
  • é a combinação de elementos tomados a (também escrita como ).
  • é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • é o número total de tentativas.

Passo 5

No nosso caso:
  • (jogadas)
  • (acertos)
Vamos calcular :

Passo 6

Agora, aplicamos os valores na fórmula:
Sabemos que , então:

Resposta

A probabilidade de ele acertar exatamente 7 vezes sem ter percepção extrassensorial é de aproximadamente 11,7%.

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Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
© em que .
Seja . Determine
(d) .
Se a função distribuição acumulada de é dada por:
Calcule a função de probabilidade .