Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos
por bola branca retirada e perdermos
por bola preta retirada.
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
d) Calcule o desvio padrão do lucro.
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
d) Calcule o desvio padrão do lucro.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, totalizando 12 bolas. A gente vai retirar 3 bolas de uma vez e, dependendo das bolas que sai, temos um ganho ou perda em dinheiro: cada bola branca ganha R$200,00 e cada preta perde R$100,00. Vamos usar conceitos de probabilidade e função de massa de probabilidade para resolver as partes a), b), c) e d) do exercício.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quantas combinações possíveis existem para retirar 3 bolas de um total de 12. Isso se calcula usando combinações, que são usadas quando a ordem não importa. A fórmula é:
Aqui,
e
, então:
Ou seja, existem 220 maneiras diferentes de retirar 3 bolas da urna.
Passo 3
Agora, vamos identificar os possíveis lucros com base nas bolas que podem ser retiradas:
- 0 bolas brancas e 3 pretas: Lucro =
reais - 1 bola branca e 2 pretas: Lucro =
reais - 2 bolas brancas e 1 preta: Lucro =
reais - 3 bolas brancas e 0 pretas: Lucro =
reais
Esses são os possíveis resultados financeiros que podemos ter ao retirar 3 bolas.
Passo 4
Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários acontecer. Para isso, usamos a fórmula de combinação para cada caso e divimos pelo total de combinações (220).
- 0 brancas e 3 pretas:
Probabilidade:
- 1 branca e 2 pretas:
Probabilidade:
- 2 brancas e 1 preta:
Probabilidade:
- 3 brancas e 0 pretas:
Probabilidade:
Passo 5
Agora, vamos construir a função de massa de probabilidade do lucro, que relaciona cada valor possível de lucro com a sua probabilidade.
Passo 6
Para a parte b), precisamos construir o gráfico da função de distribuição acumulada (FDA) do lucro. A FDA nos mostra a probabilidade de o lucro ser menor ou igual a um certo valor.
Vamos acumular as probabilidades:
-
-
-
-
(já que é o máximo lucro possível)
O gráfico seria uma escada com esses pontos acumulados.
Passo 7
Para a parte c), vamos encontrar:
- Lucro Esperado (Média):
Usamos a fórmula:
Calculando:
-
Lucro Mediano:
A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio. Da FDA, vemos quee . Como a maioria da probabilidade está acima de 0, a mediana é 0 reais. -
Moda do Lucro:
A moda é o valor com maior probabilidade. Observando a função de massa, 0 reais tem a maior probabilidade ().
Passo 8
Para a parte d), vamos calcular o desvio padrão do lucro, que mede a dispersão dos valores em relação à média.
Primeiro, calculamos a variância:
Calculando
:
Agora,
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:
Resposta
a) A função de massa de probabilidade do lucro é:
b) O gráfico da função de distribuição acumulada do lucro apresenta os pontos:
c)
- Lucro esperado: R$75,00
- Lucro mediano: R$0,00
- Moda do lucro: R$0,00
d) O desvio padrão do lucro é aproximadamente R$231,79.
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