Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retiradas simultaneamente dessa urna. Se ganharmos R por bola branca retirada e perdermos por bola branca retirada e perdermos por bola preta retirada.
a) Encontre a função de massa de probabilidade do lucro;
b) Faça o gráfico da função de distribuição acumulada do lucro;
c) Encontre o lucro esperado, o lucro mediano e a moda do lucro;
d) Calcule o desvio padrão do lucro.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. Temos uma urna com 5 bolas brancas e 7 bolas pretas, totalizando 12 bolas. A gente vai retirar 3 bolas de uma vez e, dependendo das bolas que sai, temos um ganho ou perda em dinheiro: cada bola branca ganha R$200,00 e cada preta perde R$100,00. Vamos usar conceitos de probabilidade e função de massa de probabilidade para resolver as partes a), b), c) e d) do exercício.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quantas combinações possíveis existem para retirar 3 bolas de um total de 12. Isso se calcula usando combinações, que são usadas quando a ordem não importa. A fórmula é:
binomnk = n!k!(n - k)!
Aqui, binom123 = 12!3! times 9! = 220 e , então:
Ou seja, existem 220 maneiras diferentes de retirar 3 bolas da urna.

Passo 3

Agora, vamos identificar os possíveis lucros com base nas bolas que podem ser retiradas:
  • 0 bolas brancas e 3 pretas: Lucro = reais
  • 1 bola branca e 2 pretas: Lucro = reais
  • 2 bolas brancas e 1 preta: Lucro = reais
  • 3 bolas brancas e 0 pretas: Lucro = reais
Esses são os possíveis resultados financeiros que podemos ter ao retirar 3 bolas.

Passo 4

Vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários acontecer. Para isso, usamos a fórmula de combinação para cada caso e divimos pelo total de combinações (220).
  1. 0 brancas e 3 pretas:
binom50 times binom73 = 1 times 35 = 35
Probabilidade: binom51 times binom72 = 5 times 21 = 105
  1. 1 branca e 2 pretas:
binom52 times binom71 = 10 times 7 = 70
Probabilidade: binom53 times binom70 = 10 times 1 = 10
  1. 2 brancas e 1 preta:
Probabilidade:
  1. 3 brancas e 0 pretas:
Probabilidade:

Passo 5

Agora, vamos construir a função de massa de probabilidade do lucro, que relaciona cada valor possível de lucro com a sua probabilidade.
c|c Lucro (R$) & Probabilidade hline -300 & 744 0 & 2144 300 & 722 600 & 122

Passo 6

Para a parte b), precisamos construir o gráfico da função de distribuição acumulada (FDA) do lucro. A FDA nos mostra a probabilidade de o lucro ser menor ou igual a um certo valor.
Vamos acumular as probabilidades:
  • (já que é o máximo lucro possível)
O gráfico seria uma escada com esses pontos acumulados.

Passo 7

Para a parte c), vamos encontrar:
  1. Lucro Esperado (Média):
    Usamos a fórmula:
E(L) = sum (l times P(l))
Calculando:
E(L) = (-300) times 744 + 0 times 2144 + 300 times 722 + 600 times 122 = -210044 + 0 + 210022 + 60022 = -47.727 + 95.455 + 27.273 = 75 reais
  1. Lucro Mediano:
    A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio. Da FDA, vemos que e . Como a maioria da probabilidade está acima de 0, a mediana é 0 reais.
  2. Moda do Lucro:
    A moda é o valor com maior probabilidade. Observando a função de massa, 0 reais tem a maior probabilidade ( ).

Passo 8

Para a parte d), vamos calcular o desvio padrão do lucro, que mede a dispersão dos valores em relação à média.
Primeiro, calculamos a variância:
Var(L) = E(L^2) - (E(L))^2
Calculando E(L^2) = (-300)^2 times 744 + 0^2 times 2144 + 300^2 times 722 + 600^2 times 122 = 90000 times 744 + 0 + 90000 times 722 + 360000 times 122 = 14318.18 + 0 + 28636.36 + 16363.64 = 59318.18 :
sigma = raiz53693.18 approx 231.79 reais
Agora,
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância:

Resposta

a) A função de massa de probabilidade do lucro é:
c|c Lucro (R$) & Probabilidade hline -300 & 744 0 & 2144 300 & 722 600 & 122
b) O gráfico da função de distribuição acumulada do lucro apresenta os pontos:
  • 75,00 - Lucro mediano: R
  • 0,00 d) O desvio padrão do lucro é aproximadamente R
c)
  • Lucro esperado: R$75,00
  • Lucro mediano: R$0,00
  • Moda do lucro: R$0,00
d) O desvio padrão do lucro é aproximadamente R$231,79.

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