Uma caixa contém uma moeda não viciada e uma de duas caras. Uma moeda é selecionada aleatoriamente e lançada. Se ocorre cara, a outra moeda é lançada; se ocorre coroa a mesma moeda é lançada.
a) Encontre a probabilidade de ocorrer cara no segundo lançamento.

Passo 1

Vamos entender o problema: temos duas moedas numa caixa, uma normal (com uma cara e uma coroa) e outra que tem duas caras. A gente vai escolher uma moeda aleatoriamente e lançá-la. Se der cara, a gente troca para a outra moeda e lança de novo; se der coroa, a gente lança a mesma moeda novamente. A questão é descobrir qual é a probabilidade de sair cara no segundo lançamento. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e análise de possíveis cenários.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as moedas:
  • Moeda 1: Normal, com uma cara © e uma coroa (K).
  • Moeda 2: Duas caras, ou seja, sempre dá cara.
A probabilidade de escolher cada moeda é igual, ou seja, 1/2 para cada uma.

Passo 3

Agora, vamos analisar o primeiro lançamento para cada moeda:
  • Se escolhermos a Moeda 1:
    • Probabilidade de dar cara: 1/2.
    • Probabilidade de dar coroa: 1/2.
  • Se escolhermos a Moeda 2:
    • Sempre dá cara, então probabilidade: 1.

Passo 4

Vamos ver o que acontece no segundo lançamento em cada caso do primeiro lançamento:
  • Caso 1: Escolhemos a Moeda 1 e deu cara no primeiro lançamento.
    • Aí trocamos para a Moeda 2 para o segundo lançamento.
    • Como a Moeda 2 sempre dá cara, a probabilidade no segundo lançamento é 1.
  • Caso 2: Escolhemos a Moeda 1 e deu coroa no primeiro lançamento.
    • Mantemos na Moeda 1 para o segundo lançamento.
    • A probabilidade de dar cara na Moeda 1 é 1/2.
  • Caso 3: Escolhemos a Moeda 2 e deu cara no primeiro lançamento.
    • Aí trocamos para a Moeda 1 para o segundo lançamento.
    • A probabilidade de dar cara na Moeda 1 é 1/2.

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada caso acontecer:
  • Probabilidade de escolher a Moeda 1: 1/2.
    • Dentro dela:
      • Dá cara no primeiro lançamento: 1/2.
      • Dá coroa no primeiro lançamento: 1/2.
  • Probabilidade de escolher a Moeda 2: 1/2.
    • Sempre dá cara no primeiro lançamento: 1.

Passo 6

Vamos usar a Regra da Probabilidade Total para somar as probabilidades dos casos onde o segundo lançamento dá cara:
  • Caso 1: (1/2) * (1/2) * 1 = 1/4.
  • Caso 2: (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8.
  • Caso 3: (1/2) * 1 * (1/2) = 1/4.

Passo 7

Somando essas probabilidades:
14 + 18 + 14 = 28 + 18 + 28 = 58

Resposta

A probabilidade de ocorrer cara no segundo lançamento é .

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