Uma caixa contém uma moeda não viciada e uma de duas caras. Uma moeda é selecionada aleatoriamente e lançada. Se ocorre cara, a outra moeda é lançada; se ocorre coroa a mesma moeda é lançada.
a) Encontre a probabilidade de ocorrer cara no segundo lançamento.
a) Encontre a probabilidade de ocorrer cara no segundo lançamento.
Passo 1
Vamos entender o problema: temos duas moedas numa caixa, uma normal (com uma cara e uma coroa) e outra que tem duas caras. A gente vai escolher uma moeda aleatoriamente e lançá-la. Se der cara, a gente troca para a outra moeda e lança de novo; se der coroa, a gente lança a mesma moeda novamente. A questão é descobrir qual é a probabilidade de sair cara no segundo lançamento. Vamos precisar usar conceitos de probabilidade condicional e análise de possíveis cenários.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as moedas:
- Moeda 1: Normal, com uma cara © e uma coroa (K).
- Moeda 2: Duas caras, ou seja, sempre dá cara.
A probabilidade de escolher cada moeda é igual, ou seja, 1/2 para cada uma.
Passo 3
Agora, vamos analisar o primeiro lançamento para cada moeda:
-
Se escolhermos a Moeda 1:
- Probabilidade de dar cara: 1/2.
- Probabilidade de dar coroa: 1/2.
-
Se escolhermos a Moeda 2:
- Sempre dá cara, então probabilidade: 1.
Passo 4
Vamos ver o que acontece no segundo lançamento em cada caso do primeiro lançamento:
-
Caso 1: Escolhemos a Moeda 1 e deu cara no primeiro lançamento.
- Aí trocamos para a Moeda 2 para o segundo lançamento.
- Como a Moeda 2 sempre dá cara, a probabilidade no segundo lançamento é 1.
-
Caso 2: Escolhemos a Moeda 1 e deu coroa no primeiro lançamento.
- Mantemos na Moeda 1 para o segundo lançamento.
- A probabilidade de dar cara na Moeda 1 é 1/2.
-
Caso 3: Escolhemos a Moeda 2 e deu cara no primeiro lançamento.
- Aí trocamos para a Moeda 1 para o segundo lançamento.
- A probabilidade de dar cara na Moeda 1 é 1/2.
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada caso acontecer:
-
Probabilidade de escolher a Moeda 1: 1/2.
- Dentro dela:
- Dá cara no primeiro lançamento: 1/2.
- Dá coroa no primeiro lançamento: 1/2.
- Dentro dela:
-
Probabilidade de escolher a Moeda 2: 1/2.
- Sempre dá cara no primeiro lançamento: 1.
Passo 6
Vamos usar a Regra da Probabilidade Total para somar as probabilidades dos casos onde o segundo lançamento dá cara:
- Caso 1: (1/2) * (1/2) * 1 = 1/4.
- Caso 2: (1/2) * (1/2) * (1/2) = 1/8.
- Caso 3: (1/2) * 1 * (1/2) = 1/4.
Passo 7
Somando essas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de ocorrer cara no segundo lançamento é
.