Encontre a E[X] e Var[X] para X sim Exponencial(lambda).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o valor esperado E[X] e a variância Var[X] de uma variável aleatória X que segue uma distribuição Exponencial com parâmetro lambda. Então, a gente vai precisar usar as fórmulas da distribuição Exponencial para calcular esses dois valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula do valor esperado E[X] para uma distribuição Exponencial. A fórmula é:
E[X] = 1lambda
Isso significa que o valor esperado, ou a média, de X é o inverso do parâmetro lambda.

Passo 3

Agora, vamos calcular o valor específico de E[X]. Como temos a fórmula, basta substituir o valor de lambda se ele for dado. Se não for especificado, deixamos a expressão em termos de lambda. Então, o valor esperado fica:
E[X] = 1lambda

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a variância Var[X] da distribuição Exponencial. A fórmula para a variância é:
Var[X] = 1lambda^2
Isso mostra que a variância de X é o inverso do quadrado de lambda.

Passo 5

Assim, temos os dois valores que queríamos encontrar. Se precisarmos de valores numéricos, basta substituir lambda pelo número dado. Caso contrário, deixamos a resposta em termos de lambda.

Resposta

Para X sim Exponencial(lambda), temos:
E[X] = 1lambda
e
Var[X] = 1lambda^2

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