Uma caixa contém 5 peças em boas condições e 7 peças em más condições. Se uma amostra de 3 peças é extraída, calcule a probabilidade de:
d. uma peça ser boa e as outras duas estarem em más condições (resp: 0.4772727)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre probabilidade e combinações. Temos uma caixa com 5 peças boas e 7 peças más, totalizando 12 peças. Queremos saber qual a chance de, ao escolher 3 peças, exatamente uma ser boa e as outras duas serem más. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinações e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de escolher 3 peças dentre as 12 disponíveis. Isso é uma combinação, pois a ordem não importa. A fórmula da combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Onde:
  • $ n $ é o total de itens,
  • $ k $ é o número de itens a serem escolhidos.
Aplicando os valores:
n
Então, existem 220 maneiras diferentes de escolher 3 peças de um total de 12.

Passo 3

Agora, vamos calcular o número de maneiras de escolher exatamente uma peça boa e duas más.
Primeiro, escolhemos 1 peça boa das 5 disponíveis:
C(5, 1) = 5!1!(5 - 1)! = 5
Depois, escolhemos 2 peças más das 7 disponíveis:
C(7, 2) = 7!2!(7 - 2)! = 7 times 62 times 1 = 21

Passo 4

Para encontrar o número de combinações favoráveis (uma boa e duas más), multiplicamos as combinações de boas pelas de más:
5 times 21 = 105

Passo 5

Finalmente, a probabilidade de exatamente uma peça ser boa e as outras duas más é a razão entre as combinações favoráveis e o total de combinações:
P = 105220 approx 0.4772727

Resposta

A probabilidade de uma peça ser boa e as outras duas estarem em más condições é aproximadamente 0,4772727.

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