Considere que o número de vezes em que um indivíduo contrai gripe durante o período de um ano seja modelado por uma variável aleatória com distribuição de Poisson, com valor esperado igual a 4. Suponha ainda que uma nova droga, baseada em vitamina C, reduza esse valor esperado para 2 em 80 % da população (mantendo a distribuição de Poisson), enquanto não produza efeito algum nos demais 20 %. Avalie as afirmações a seguir:
(b) A probabilidade de que um indivíduo, não beneficiado pela nova droga, contraia gripe no máximo duas vezes em um ano é 13 e^-4.

Passo 1

Vamos entender a questão: Temos que o número de vezes que uma pessoa pega gripe em um ano segue uma distribuição de Poisson com média igual a 4. Queremos calcular a probabilidade de uma pessoa que não foi beneficiada pela nova droga, ou seja, que mantém a média de 4, pegar gripe no máximo duas vezes por ano. Para isso, vamos usar a distribuição de Poisson e seus conceitos básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de ocorrências de um evento que ocorre de forma aleatória em um intervalo fixo de tempo ou espaço. A fórmula da função de massa de probabilidade da Poisson é:
P(X = k) = lambda^k e^-lambdak!
onde:
  • $ \lambda $ é o valor esperado (média) dos eventos,
  • $ k $ é o número de ocorrências,
  • $ e $ é a base do logaritmo natural.

Passo 3

No nosso caso, $ \lambda = 4 $ e queremos calcular a probabilidade de $ X \leq 2 $, ou seja, pegar gripe no máximo duas vezes. Isso significa que vamos somar as probabilidades de $ X = 0 $, $ X = 1 $ e $ X = 2 $.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da Poisson:
Para $ X = 0 $:
X = 0
Para $ X = 1 $:
P(X = 0) = 4^0 e^-40! = 1 cdot e^-41 = e^-4
Para $ X = 2 $:
X = 1

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para obter $ P(X \leq 2) $:
P(X <= 2)

Resposta

A probabilidade é 13,e^-4.

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