Uma caixa contém 5 peças em boas condições e 7 peças em más condições. Se uma amostra de 3 peças é extraída, calcule a probabilidade de:
c. pelo menos 2 peças serem boas; (resp: 0.3636364 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa com 5 peças boas e 7 peças más, totalizando 12 peças. A questão pede para calcular a probabilidade de, ao tirar 3 peças dessa caixa, pelo menos 2 serem boas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Probabilidade Combinatória, onde calculamos de quantas maneiras podemos escolher as peças e quais combinações atendem ao que a questão pede.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras existem de escolher 3 peças qualquer da caixa. Como a ordem não importa, usamos a combinação. A fórmula para combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
Aqui, $ n = 12 $ (total de peças) e $ k = 3 $ (peças a serem escolhidas). Então:
n = 12
Existem 220 maneiras de escolher 3 peças da caixa.

Passo 3

Agora, queremos calcular a probabilidade de pelo menos 2 peças serem boas. Isso inclui dois cenários:
  1. Exatamente 2 peças boas e 1 peça má
  2. Exatamente 3 peças boas
Vamos calcular cada um separadamente.

Passo 4

1. Exatamente 2 peças boas e 1 peça má:
Número de maneiras de escolher 2 peças boas das 5 disponíveis:
C(5, 2) = 5!2!(5 - 2)! = 5 times 42 times 1 = 10
Número de maneiras de escolher 1 peça má das 7 disponíveis:
C(7, 1) = 7
Então, o número total de combinações para esse cenário é:
10 times 7 = 70

Passo 5

2. Exatamente 3 peças boas:
Número de maneiras de escolher 3 peças boas das 5 disponíveis:
C(5, 3) = 5!3!(5 - 3)! = 5 times 4 times 33 times 2 times 1 = 10

Passo 6

Agora, somamos as duas situações para encontrar o total de combinações que atendem à condição de pelo menos 2 peças serem boas:
70 (duas boas e uma má) + 10 (três boas) = 80 áê

Passo 7

Para encontrar a probabilidade, dividimos o número de combinações favoráveis pelo total de combinações possíveis:
P = 80220 = 822 = 411 approx 0.3636

Resposta

A probabilidade de, ao extrair 3 peças, pelo menos 2 serem boas é aproximadamente 0.3636.

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