A Caixa I contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis, enquanto que a Caixa II contém 2 bolas vermelhas e 8 bolas azuis. Uma moeda honesta é lançada. Se a moeda der cara, uma bola é escolhida da Caixa I; se ler coroa, uma bola é escolhida da Caixa II. Suponha que a moeda tenha sido lançada e tenha sido scolhida uma bola vermelha. Qual é a probabilidade que a Caixa I tenha sido escolhida?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas caixas com bolas de cores diferentes:
- Caixa I: 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis.
- Caixa II: 2 bolas vermelhas e 8 bolas azuis.
Lançamos uma moeda justa:
- Se sair cara, escolhemos uma bola da Caixa I.
- Se sair coroa, escolhemos uma bola da Caixa II.
A questão quer saber: Se já sabemos que foi escolhida uma bola vermelha, qual a probabilidade de que a Caixa I tenha sido a escolhida?
Para resolver isso, vamos usar Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os eventos:
-
: A moeda deu cara (escolhemos da Caixa I). -
: A moeda deu coroa (escolhemos da Caixa II). -
: Foi escolhida uma bola vermelha.
Queremos encontrar
, a probabilidade de termos escolhido a Caixa I dado que a bola foi vermelha.
Passo 3
Pelo teorema de Bayes, temos:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.
Passo 4
Primeiro,
. Como a moeda é justa:
Da mesma forma,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular
, ou seja, a probabilidade de tirar uma bola vermelha da Caixa I.
Na Caixa I temos 3 vermelhas e 2 azuis, totalizando 5 bolas. Então:
Passo 6
Em seguida,
, a probabilidade de tirar uma bola vermelha da Caixa II.
Na Caixa II temos 2 vermelhas e 8 azuis, totalizando 10 bolas. Então:
Passo 7
Agora, precisamos calcular
, a probabilidade total de tirar uma bola vermelha. Podemos usar a fórmula da probabilidade total:
Substituindo os valores:
Passo 8
Finalmente, aplicando o Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a Caixa I tenha sido escolhida, dado que a bola escolhida foi vermelha, é
.