A Caixa I contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis, enquanto que a Caixa II contém 2 bolas vermelhas e 8 bolas azuis. Uma moeda honesta é lançada. Se a moeda der cara, uma bola é escolhida da Caixa I; se ler coroa, uma bola é escolhida da Caixa II. Suponha que a moeda tenha sido lançada e tenha sido scolhida uma bola vermelha. Qual é a probabilidade que a Caixa I tenha sido escolhida?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas caixas com bolas de cores diferentes:
  • Caixa I: 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis.
  • Caixa II: 2 bolas vermelhas e 8 bolas azuis.
Lançamos uma moeda justa:
  • Se sair cara, escolhemos uma bola da Caixa I.
  • Se sair coroa, escolhemos uma bola da Caixa II.
A questão quer saber: Se já sabemos que foi escolhida uma bola vermelha, qual a probabilidade de que a Caixa I tenha sido a escolhida?
Para resolver isso, vamos usar Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos:
  • : A moeda deu cara (escolhemos da Caixa I).
  • : A moeda deu coroa (escolhemos da Caixa II).
  • : Foi escolhida uma bola vermelha.
Queremos encontrar , a probabilidade de termos escolhido a Caixa I dado que a bola foi vermelha.

Passo 3

Pelo teorema de Bayes, temos:
P(C | V) = P(V | C) cdot P(C)P(V)
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.

Passo 4

Primeiro, P(C) = 12 . Como a moeda é justa:
Da mesma forma, .

Passo 5

Agora, vamos calcular P(V | C) = 35 , ou seja, a probabilidade de tirar uma bola vermelha da Caixa I.
Na Caixa I temos 3 vermelhas e 2 azuis, totalizando 5 bolas. Então:

Passo 6

Em seguida, P(V | K) = 210 = 15 , a probabilidade de tirar uma bola vermelha da Caixa II.
Na Caixa II temos 2 vermelhas e 8 azuis, totalizando 10 bolas. Então:

Passo 7

Agora, precisamos calcular P(V) = P(V | C) cdot P(C) + P(V | K) cdot P(K) , a probabilidade total de tirar uma bola vermelha. Podemos usar a fórmula da probabilidade total:
P(V) = ( 35 cdot 12 ) + ( 15 cdot 12 ) = 310 + 110 = 410 = 25
Substituindo os valores:

Passo 8

Finalmente, aplicando o Teorema de Bayes:
P(C | V) = P(V | C) cdot P(C)P(V) = 35 cdot 1225 = 31025 = 310 cdot 52 = 1520 = 34

Resposta

A probabilidade de que a Caixa I tenha sido escolhida, dado que a bola escolhida foi vermelha, é .

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