A Caixa I contém 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis, enquanto que a Caixa II contém 2 bolas vermelhas e 8 bolas azuis. Uma moeda honesta é lançada. Se a moeda der cara, uma bola é escolhida da Caixa I; se ler coroa, uma bola é escolhida da Caixa II. Suponha que a moeda tenha sido lançada e tenha sido scolhida uma bola vermelha. Qual é a probabilidade que a Caixa I tenha sido escolhida?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas caixas com bolas de cores diferentes:
  • Caixa I: 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis.
  • Caixa II: 2 bolas vermelhas e 8 bolas azuis.
Lançamos uma moeda justa:
  • Se sair cara, escolhemos uma bola da Caixa I.
  • Se sair coroa, escolhemos uma bola da Caixa II.
A questão quer saber: Se já sabemos que foi escolhida uma bola vermelha, qual a probabilidade de que a Caixa I tenha sido a escolhida?
Para resolver isso, vamos usar Probabilidade Condicional e o Teorema de Bayes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os eventos:
  • : A moeda deu cara (escolhemos da Caixa I).
  • : A moeda deu coroa (escolhemos da Caixa II).
  • : Foi escolhida uma bola vermelha.
Queremos encontrar , a probabilidade de termos escolhido a Caixa I dado que a bola foi vermelha.

Passo 3

Pelo teorema de Bayes, temos:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades.

Passo 4

Primeiro, . Como a moeda é justa:
Da mesma forma, .

Passo 5

Agora, vamos calcular , ou seja, a probabilidade de tirar uma bola vermelha da Caixa I.
Na Caixa I temos 3 vermelhas e 2 azuis, totalizando 5 bolas. Então:

Passo 6

Em seguida, , a probabilidade de tirar uma bola vermelha da Caixa II.
Na Caixa II temos 2 vermelhas e 8 azuis, totalizando 10 bolas. Então:

Passo 7

Agora, precisamos calcular , a probabilidade total de tirar uma bola vermelha. Podemos usar a fórmula da probabilidade total:
Substituindo os valores:

Passo 8

Finalmente, aplicando o Teorema de Bayes:

Resposta

A probabilidade de que a Caixa I tenha sido escolhida, dado que a bola escolhida foi vermelha, é .

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414 450 380 360 470 400 411 465 390 384 398 412 416 454 449
395 440 439 449 453 464 450 370 398 410 389 436 426 430 425
Determine média, mediana, moda, variância e desvio padrão para esses dados.
Seja . Determine
(d) .
Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
© em que .