Seja X sim Bin(5 ; 0,3). Determine
(d) P(2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá uma variável aleatória que segue uma distribuição binomial com tentativas e probabilidade de sucesso . Nosso objetivo é encontrar a probabilidade de estar entre 2 e 5, ou seja, .
Vamos precisar usar a fórmula da distribuição binomial para calcular essas probabilidades.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que estamos interessados nas probabilidades de ser 3 ou 4, já que é uma variável discreta e não pode assumir valores fracionários.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da distribuição binomial para calcular P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k e . A fórmula é:
Onde:
  • é o coeficiente binomial, que calcula o número de combinações de elementos tomados a .
  • é a probabilidade de sucesso elevada ao número de sucessos.
  • é a probabilidade de insucesso elevada ao número de insucessos.

Passo 4

Vamos calcular P(X = 3) = binom53 (0,3)^3 (0,7)^2 :
binom53 = 5!3! cdot 2! = 10
Calculando o coeficiente binomial:
P(X = 3) = 10 times (0,027) times (0,49) = 10 times 0,01323 = 0,1323
Então:
P(X = 4) = binom54 (0,3)^4 (0,7)^1
Agora, vamos calcular binom54 = 5!4! cdot 1! = 5 :
P(X = 4) = 5 times (0,0081) times (0,7) = 5 times 0,00567 = 0,02835
Calculando o coeficiente binomial:
Então:

Resposta

Somando as probabilidades de P(2 < X < 5) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0,1323 + 0,02835 = 0,16065 e :
Portanto, .

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