Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
© em que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo uma distribuição binomial. Especificamente, queremos encontrar a probabilidade de quando segue uma distribuição binomial com 6 tentativas e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é 0,7. Ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades em distribuições binomiais, tanto manualmente quanto usando o R.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição binomial. Ela é usada para contar o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade de sucesso. A fórmula para a probabilidade de exatamente sucessos é:
Aqui, é o coeficiente binomial que calcula as combinações de coisas tomadas de cada vez.

Passo 3

No nosso caso, queremos , ou seja, a probabilidade de ter menos de 5 sucessos em 6 tentativas. Isso equivale a calcular . Então, vamos somar as probabilidades de e :

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas probabilidades:
Então, a probabilidade de ser menor que 5 é aproximadamente 0,5798, ou 57,98%.

Passo 6

Mas e se a gente quiser fazer isso usando o R? É bem simples! O R tem funções que facilitam muito nosso trabalho com distribuições de probabilidade. Para uma distribuição binomial, usamos a função pbinom, que calcula a probabilidade acumulada até um certo valor.
No nosso caso, queremos :
# Número de tentativas
n <- 6
# Probabilidade de sucesso
p <- 0.7
# Calcular P(X <= 4)
prob <- pbinom(4, size = n, prob = p)
print(prob)
Esse código vai te retornar aproximadamente 0,5798, que é o mesmo valor que calculamos manualmente!

Resposta

A probabilidade de para é aproximadamente 57,98%.

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Seja . Determine
(d) .
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Se a função distribuição acumulada de é dada por:
Calcule a função de probabilidade .