Obtenha as seguintes probabilidades manualmente e pelo R.
Seja . Determine
© P(X<5) em que X sim Bin(6 ; 0,7).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo uma distribuição binomial. Especificamente, queremos encontrar a probabilidade de quando segue uma distribuição binomial com 6 tentativas e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é 0,7. Ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades em distribuições binomiais, tanto manualmente quanto usando o R.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição binomial. Ela é usada para contar o número de sucessos em uma sequência de P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade de sucesso. A fórmula para a probabilidade de exatamente sucessos é:
Aqui, é o coeficiente binomial que calcula as combinações de coisas tomadas de cada vez.

Passo 3

No nosso caso, queremos P(X < 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) , ou seja, a probabilidade de ter menos de 5 sucessos em 6 tentativas. Isso equivale a calcular . Então, vamos somar as probabilidades de e :

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial:
  1. Para P(X = 0) = binom60 (0,7)^0 (0,3)^6 = 1 times 1 times 0,3^6 = 0,000729 :
P(X = 1) = binom61 (0,7)^1 (0,3)^5 = 6 times 0,7 times 0,00243 = 0,010206
  1. Para P(X = 2) = binom62 (0,7)^2 (0,3)^4 = 15 times 0,49 times 0,0081 = 0,059535 :
P(X = 3) = binom63 (0,7)^3 (0,3)^3 = 20 times 0,343 times 0,027 = 0,18522
  1. Para P(X = 4) = binom64 (0,7)^4 (0,3)^2 = 15 times 0,2401 times 0,09 = 0,324135 :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas probabilidades:
P(X < 5) = 0,000729 + 0,010206 + 0,059535 + 0,18522 + 0,324135 = 0,579825
Então, a probabilidade de ser menor que 5 é aproximadamente 0,5798, ou 57,98%.

Passo 6

Mas e se a gente quiser fazer isso usando o R? É bem simples! O R tem funções que facilitam muito nosso trabalho com distribuições de probabilidade. Para uma distribuição binomial, usamos a função pbinom, que calcula a probabilidade acumulada até um certo valor.
No nosso caso, queremos :
# Número de tentativas
n <- 6
# Probabilidade de sucesso
p <- 0.7
# Calcular P(X <= 4)
prob <- pbinom(4, size = n, prob = p)
print(prob)
Esse código vai te retornar aproximadamente 0,5798, que é o mesmo valor que calculamos manualmente!

Resposta

A probabilidade de para é aproximadamente 57,98%.

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