Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo uma distribuição binomial. Especificamente, queremos encontrar a probabilidade de quando segue uma distribuição binomial com 6 tentativas e a probabilidade de sucesso em cada tentativa é 0,7. Ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular probabilidades em distribuições binomiais, tanto manualmente quanto usando o R.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição binomial. Ela é usada para contar o número de sucessos em uma sequência de tentativas independentes, onde cada tentativa tem uma probabilidade de sucesso. A fórmula para a probabilidade de exatamente sucessos é:
Aqui, é o coeficiente binomial que calcula as combinações de coisas tomadas de cada vez.
Passo 3
No nosso caso, queremos , ou seja, a probabilidade de ter menos de 5 sucessos em 6 tentativas. Isso equivale a calcular . Então, vamos somar as probabilidades de e :
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, vamos somar todas essas probabilidades:
Então, a probabilidade de ser menor que 5 é aproximadamente 0,5798, ou 57,98%.
Passo 6
Mas e se a gente quiser fazer isso usando o R? É bem simples! O R tem funções que facilitam muito nosso trabalho com distribuições de probabilidade. Para uma distribuição binomial, usamos a função pbinom, que calcula a probabilidade acumulada até um certo valor.
No nosso caso, queremos :
# Número de tentativas
n <- 6
# Probabilidade de sucesso
p <- 0.7
# Calcular P(X <= 4)
prob <- pbinom(4, size = n, prob = p)
print(prob)
Esse código vai te retornar aproximadamente 0,5798, que é o mesmo valor que calculamos manualmente!