Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja
o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e
o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
a) Encontre a função de probabilidade conjunta de
e
;
a) Encontre a função de probabilidade conjunta de
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma caixa com 5 lâmpadas, das quais 2 estão defeituosas. Vamos testar essas lâmpadas uma a uma até encontrar as duas defeituosas. Queremos descobrir a função de probabilidade conjunta de
e
, onde
é o número de testes até encontrar a primeira lâmpada defeituosa e
é o número de testes até encontrar a segunda defeituosa.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de combinatória básica e conceitos de probabilidade conjunta. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em todas as possíveis ordens em que podemos testar as 5 lâmpadas. Como temos 5 lâmpadas e queremos organizar todas elas, o número total de arranjos possíveis é
. Porém, como há lâmpadas iguais entre defeituosas e não defeituosas, vamos simplificar.
Na verdade, o número de maneiras diferentes de escolher quais lâmpadas são defeituosas e quais não são é dado por combinações. Temos que escolher 2 lâmpadas defeituosas entre 5, então temos:
Então, há 10 arranjos distintos de defeituosas e não defeituosas.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade conjunta de
e
. Isso significa que queremos saber a probabilidade de encontrar a primeira lâmpada defeituosa no teste
e a segunda no teste
, onde
.
Para isso, vamos calcular o número de arranjos favoráveis a essa ocorrência específica e dividir pelo número total de arranjos possíveis (que é 10).
Passo 4
Vamos considerar que a primeira lâmpada defeituosa é encontrada no teste
e a segunda no teste
. Para isso:
- A lâmpada no teste
deve ser defeituosa. - As lâmpadas nos testes de 1 até
devem ser não defeituosas. - A lâmpada no teste
deve ser a segunda defeituosa. - As lâmpadas entre
e devem ser não defeituosas.
Vamos calcular quantas maneiras isso pode acontecer.
Passo 5
Primeiro, fixamos as posições de
e
. Temos:
- 2 lâmpadas defeituosas: uma no
e outra no . - As lâmpadas restantes (total de
) devem ser não defeituosas.
A quantidade de arranjos favoráveis é 1, já que as posições estão fixas para defeituosas e não defeituosas.
Passo 6
Finalmente, a probabilidade conjunta
é:
Resposta
A função de probabilidade conjunta de
e
é: