Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja N1 o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e N2 o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
a) Encontre a função de probabilidade conjunta de N1 e N2;

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma caixa com 5 lâmpadas, das quais 2 estão defeituosas. Vamos testar essas lâmpadas uma a uma até encontrar as duas defeituosas. Queremos descobrir a função de probabilidade conjunta de e , onde é o número de testes até encontrar a primeira lâmpada defeituosa e é o número de testes até encontrar a segunda defeituosa.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de combinatória básica e conceitos de probabilidade conjunta. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em todas as possíveis ordens em que podemos testar as 5 lâmpadas. Como temos 5 lâmpadas e queremos organizar todas elas, o número total de arranjos possíveis é C(5, 2) = 5!2! cdot (5-2)! = 10 . Porém, como há lâmpadas iguais entre defeituosas e não defeituosas, vamos simplificar.
Na verdade, o número de maneiras diferentes de escolher quais lâmpadas são defeituosas e quais não são é dado por combinações. Temos que escolher 2 lâmpadas defeituosas entre 5, então temos:
Então, há 10 arranjos distintos de defeituosas e não defeituosas.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade conjunta de e . Isso significa que queremos saber a probabilidade de encontrar a primeira lâmpada defeituosa no teste e a segunda no teste , onde .
Para isso, vamos calcular o número de arranjos favoráveis a essa ocorrência específica e dividir pelo número total de arranjos possíveis (que é 10).

Passo 4

Vamos considerar que a primeira lâmpada defeituosa é encontrada no teste e a segunda no teste . Para isso:
  1. A lâmpada no teste deve ser defeituosa.
  2. As lâmpadas nos testes de 1 até devem ser não defeituosas.
  3. A lâmpada no teste deve ser a segunda defeituosa.
  4. As lâmpadas entre e devem ser não defeituosas.
Vamos calcular quantas maneiras isso pode acontecer.

Passo 5

Primeiro, fixamos as posições de e . Temos:
  • 2 lâmpadas defeituosas: uma no e outra no .
  • As lâmpadas restantes (total de ) devem ser não defeituosas.
A quantidade de arranjos favoráveis é 1, já que as posições estão fixas para defeituosas e não defeituosas.

Passo 6

Finalmente, a probabilidade conjunta P(N1 = n1, N2 = n2) = Número de arranjos favoráveisNúmero total de arranjos = 110 é:
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Resposta

A função de probabilidade conjunta de P(N1 = n1, N2 = n2) = 110 para 1 <= n1 < n2 <= 5 e é:

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