Dada a função de distribuição acumulada
de uma v.a. X, determine as seguintes probabilidades:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de distribuição acumulada que descreve como as probabilidades se acumulam para a variável aleatória . Nosso objetivo é descobrir algumas probabilidades específicas relacionadas a . Para isso, vamos precisar entender como usar a função de distribuição acumulada para encontrar probabilidades de eventos como ou intervalos de . Vamos por passos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, , nos diz a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor , ou seja, . É como um mapa que mostra como as probabilidades se acumulam à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, para encontrar , que é a probabilidade de ser exatamente igual a um valor específico , usamos a diferença entre e (onde é o limite da FDA quando se aproxima de pela esquerda). Matemáticamente, isso fica:

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada valor solicitado:
  1. :
    • (pois para , )
    • Então,
  2. :
    • Então,
  3. :
    • (de para )
    • Então,
  4. :
    • (de para )
    • Então,
  5. :
    • Então, (pois a função atinge 1 em )

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades nos intervalos dados:
  1. :
    • Isso inclui e
  2. :
    • Isso inclui e
  3. :
    • Isso inclui e
  4. :
    • Isso é diretamente

Resposta

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A função de densidade conjunta de e é dada por
e) Determine ;
Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
d) ;
Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à direita de cada uma das medidas a seguir.
(b)
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
a) Encontre a função de probabilidade conjunta de e ;