Dada a função de distribuição acumulada
F(x)= 0 & se x<1 x4 & se 1 <= x<2 0,5 & se 2 <= x<3 0,7 & se 3 <= x<4 (x-4)^2+45 & se 4 <= x<5 1 & se 5 <= x
de uma v.a. X, determine as seguintes probabilidades:
P(X=1) P(X=2) P(X=3) P(X=4) P(X=5) P(23) P(X <= 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de distribuição acumulada que descreve como as probabilidades se acumulam para a variável aleatória . Nosso objetivo é descobrir algumas probabilidades específicas relacionadas a . Para isso, vamos precisar entender como usar a função de distribuição acumulada para encontrar probabilidades de eventos como ou intervalos de . Vamos por passos!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função de distribuição acumulada (FDA). A FDA, , nos diz a probabilidade de que a variável aleatória seja menor ou igual a um certo valor , ou seja, . É como um mapa que mostra como as probabilidades se acumulam à medida que aumenta.

Passo 3

Agora, para encontrar P(X = k) = F(k) - F(k-) , que é a probabilidade de ser exatamente igual a um valor específico , usamos a diferença entre e (onde é o limite da FDA quando se aproxima de pela esquerda). Matemáticamente, isso fica:

Passo 4

Vamos aplicar isso para cada valor solicitado:
  1. :
    • (pois para , )
    • Então,
  2. :
    • Então,
  3. :
    • (de para )
    • Então,
  4. :
    • (de para )
    • Então,
  5. :
    • Então, (pois a função atinge 1 em )

Passo 5

Agora, vamos calcular as probabilidades nos intervalos dados:
  1. :
    • Isso inclui e
  2. :
    • Isso inclui e
  3. :
    • Isso inclui e
  4. :
    • Isso é diretamente

Resposta

P(X=1) &= 0,25 P(X=2) &= 0 P(X=3) &= 0,2 P(X=4) &= 0,1 P(X=5) &= 0,2 P(2 < X <= 4) &= 0,3 P(2 <= X < 4) &= 0,2 P(X > 3) &= 0,3 P(X <= 4) &= 0,8

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