b) Calcule ainda o valor esperado e a variância de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de distribuição acumulada que está dividida em intervalos. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o valor esperado () e a variância () da variável aleatória . Para isso, vamos precisar primeiro encontrar a função massa de probabilidade (fmp) a partir da função de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a função de distribuição acumulada em função massa de probabilidade . A função massa de probabilidade dá a probabilidade de assumir cada valor específico. Para isso, observamos os saltos na função :
Onde é o limite de quando se aproxima de pela esquerda. Vamos calcular isso para cada intervalo:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Agora temos a função massa de probabilidade:
Passo 3
Agora vamos calcular o valor esperado. A fórmula para o valor esperado de uma variável aleatória discreta é:
Vamos multiplicar cada valor de pela sua respectiva probabilidade e somar tudo:
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a variância. A fórmula para a variância é: