Dada a função de distribuição acumulada
b) Calcule ainda o valor esperado e a variância de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de distribuição acumulada que está dividida em intervalos. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o valor esperado ( ) e a variância ( ) da variável aleatória . Para isso, vamos precisar primeiro encontrar a função massa de probabilidade (fmp) a partir da função de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função de distribuição acumulada em função massa de probabilidade . A função massa de probabilidade dá a probabilidade de assumir cada valor específico. Para isso, observamos os saltos na função :
Onde é o limite de quando se aproxima de pela esquerda. Vamos calcular isso para cada intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora temos a função massa de probabilidade:

Passo 3

Agora vamos calcular o valor esperado . A fórmula para o valor esperado de uma variável aleatória discreta é:
Vamos multiplicar cada valor de pela sua respectiva probabilidade e somar tudo:
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância . A fórmula para a variância é:
Primeiro, calculamos :
Vamos multiplicar cada pela sua probabilidade:
Calculando cada termo:
Agora, usando a fórmula da variância:

Resposta

O valor esperado de é e a variância é .

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Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que se situam entre:
(a) e
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
a) Encontre a função de probabilidade conjunta de e ;
Seja T uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade dada por
Determine a função distribuição acumulada de T.
Seja X uma variável aleatória discreta com
e
b) Determine as seguintes probabilidades: