Dada a função de distribuição acumulada
F(x)=lll 0 & se & x<1 0,1 & se & 1 <= x<2 0,3 & se & 2 <= x<3 0,7 & se & 3 <= x<4 0,8 & se & 4 <= x<5 1 & se & 5 <= x
b) Calcule ainda o valor esperado e a variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de distribuição acumulada que está dividida em intervalos. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o valor esperado ( ) e a variância ( ) da variável aleatória . Para isso, vamos precisar primeiro encontrar a função massa de probabilidade (fmp) a partir da função de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a função de distribuição acumulada P(X = xi) = F(xi) - F(xi^-) em função massa de probabilidade P(X = 1) = 0,1 - 0 = 0,1 . A função massa de probabilidade dá a probabilidade de P(X = 2) = 0,3 - 0,1 = 0,2 assumir cada valor específico. Para isso, observamos os saltos na função P(X = 3) = 0,7 - 0,3 = 0,4 :
P(X = 4) = 0,8 - 0,7 = 0,1
Onde P(X = 5) = 1 - 0,8 = 0,2 é o limite de c|c x & P(X = x) hline 1 & 0,1 2 & 0,2 3 & 0,4 4 & 0,1 5 & 0,2 quando se aproxima de pela esquerda. Vamos calcular isso para cada intervalo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Agora temos a função massa de probabilidade:

Passo 3

Agora vamos calcular o valor esperado E[X] = sumi xi cdot P(X = xi) . A fórmula para o valor esperado de uma variável aleatória discreta é:
E[X] = 1 cdot 0,1 + 2 cdot 0,2 + 3 cdot 0,4 + 4 cdot 0,1 + 5 cdot 0,2
Vamos multiplicar cada valor de E[X] = 0,1 + 0,4 + 1,2 + 0,4 + 1,0 = 3,1 pela sua respectiva probabilidade e somar tudo:
Calculando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 . A fórmula para a variância é:
E[X^2] = sumi xi^2 cdot P(X = xi)
Primeiro, calculamos E[X^2] = 1^2 cdot 0,1 + 2^2 cdot 0,2 + 3^2 cdot 0,4 + 4^2 cdot 0,1 + 5^2 cdot 0,2 :
E[X^2] = 1 cdot 0,1 + 4 cdot 0,2 + 9 cdot 0,4 + 16 cdot 0,1 + 25 cdot 0,2 = 0,1 + 0,8 + 3,6 + 1,6 + 5,0 = 11,1
Vamos multiplicar cada Var(X) = 11,1 - (3,1)^2 = 11,1 - 9,61 = 1,49 pela sua probabilidade:
Calculando cada termo:
Agora, usando a fórmula da variância:

Resposta

O valor esperado de é e a variância é .

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