Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja N1 o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e N2 o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
c) Encontre a função de probabilidade marginal de N2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma caixa com 5 lâmpadas, das quais 2 estão com defeito. Vamos testar as lâmpadas uma a uma até identificar todas as defeituosas. Queremos encontrar a função de probabilidade marginal de , que representa o número total de testes realizados até que a segunda lâmpada defeituosa seja identificada.
Conteúdo da Matéria: Probabilidade e Distribuições de Probabilidade.
O que vamos precisar:
  • Entender de forma básica como calcular probabilidades em experimentos com resultados dependentes.
  • Utilizar conceitos de combinações para determinar as possíveis sequências de testes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os possíveis valores que pode assumir. Como temos 2 lâmpadas defeituosas em um total de 5, a segunda defeituosa pode ser encontrada no teste 2, 3, 4 ou 5. Não é possível que seja encontrada no primeiro teste, pois aí ainda restaria uma defeituosa para ser encontrada.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos.
  1. P(N2 = 2) = Número de maneiras de escolher as 2 defeituosas nas 2 primeiras posiçõesNúmero total de maneiras de ordenar as 2 defeituosas entre as 5 lâmpadas :
    • Isso significa que as duas primeiras lâmpadas testadas são as defeituosas.
    • A probabilidade disso acontecer é: = 1binom52 = 110 úçõúâ P(N2 = 3) = binom21 times binom31binom52 = 610 = 35
  2. P(N2 = 4) = binom31 times binom21binom52 = 610 = 35 :
    • A segunda defeituosa é encontrada no terceiro teste.
    • Isso significa que uma das primeiras duas lâmpadas é defeituosa e a terceira também.
    • A probabilidade é: P(N2 = 5) = binom41 times binom11binom52 = 410 = 25
  3. :
    • A segunda defeituosa é encontrada no quarto teste.
    • Uma das primeiras três lâmpadas é defeituosa, e a quarta também.
    • A probabilidade é:
  4. :
    • A segunda defeituosa é encontrada no quinto teste.
    • Uma das primeiras quatro lâmpadas é defeituosa, e a quinta também.
    • A probabilidade é:

Resposta

A função de probabilidade marginal de P(N2 = k) = 110 & se k = 2 35 & se k = 3 35 & se k = 4 25 & se k = 5 0 & caso contrário é dada por:
á

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