Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
c) Encontre a função de probabilidade marginal de .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma caixa com 5 lâmpadas, das quais 2 estão com defeito. Vamos testar as lâmpadas uma a uma até identificar todas as defeituosas. Queremos encontrar a função de probabilidade marginal de , que representa o número total de testes realizados até que a segunda lâmpada defeituosa seja identificada.
Conteúdo da Matéria: Probabilidade e Distribuições de Probabilidade.
O que vamos precisar:
  • Entender de forma básica como calcular probabilidades em experimentos com resultados dependentes.
  • Utilizar conceitos de combinações para determinar as possíveis sequências de testes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quais são os possíveis valores que pode assumir. Como temos 2 lâmpadas defeituosas em um total de 5, a segunda defeituosa pode ser encontrada no teste 2, 3, 4 ou 5. Não é possível que seja encontrada no primeiro teste, pois aí ainda restaria uma defeituosa para ser encontrada.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses casos.
  1. :
    • Isso significa que as duas primeiras lâmpadas testadas são as defeituosas.
    • A probabilidade disso acontecer é: úçõúâ
  2. :
    • A segunda defeituosa é encontrada no terceiro teste.
    • Isso significa que uma das primeiras duas lâmpadas é defeituosa e a terceira também.
    • A probabilidade é:
  3. :
    • A segunda defeituosa é encontrada no quarto teste.
    • Uma das primeiras três lâmpadas é defeituosa, e a quarta também.
    • A probabilidade é:
  4. :
    • A segunda defeituosa é encontrada no quinto teste.
    • Uma das primeiras quatro lâmpadas é defeituosa, e a quinta também.
    • A probabilidade é:

Resposta

A função de probabilidade marginal de é dada por:
á

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a)