Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja X o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de X e Y nos casos em que
b) o sorteio é feito com reposição.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 2 bolas verdes, totalizando 12 bolas. Vamos sortear 3 bolas com reposição, ou seja, depois de cada sorteio, a bola volta para a urna. Queremos descobrir a função de probabilidade conjunta das variáveis X (número de bolas amarelas sorteadas) e Y (número de bolas azuis sorteadas). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades combinatórias e distribuição multinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada cor ser sorteada em uma única tentativa. Como há reposição, essas probabilidades permanecem as mesmas a cada sorteio.
  • Probabilidade de sair uma bola amarela ( PA):
    PA = 412 = 13
  • Probabilidade de sair uma bola azul ( PB):
    PB = 612 = 12
  • Probabilidade de sair uma bola verde ( PG):
    PG = 212 = 16

Passo 3

Como estamos fazendo 3 sorteios com reposição, cada sorteio é independente dos outros. Queremos encontrar a probabilidade de, em 3 sorteios, sair exatamente x bolas amarelas e y bolas azuis.
Sabemos que o total de bolas sorteadas é 3, então:
x + y + z = 3
onde z é o número de bolas verdes sorteadas.

Passo 4

Agora, para calcular a probabilidade conjunta de X e Y, usamos a distribuição multinomial. A fórmula geral para a distribuição multinomial é:
P(X = x, Y = y) = 3!x! , y! , z! cdot PA^x cdot PB^y cdot PG^z
Como z = 3 - x - y, podemos reescrever a fórmula como:
P(X = x, Y = y) = 3!x! , y! , (3 - x - y)! cdot (13)^x cdot (12)^y cdot (16)^3 - x - y

Passo 5

Vamos detalhar cada parte da fórmula:
  • Fatorial: 3! representa todas as possíveis ordens dos 3 sorteios.
  • Divisão pelos fatoriais de x!, y!, e (3 - x - y)! elimina as contagens duplicadas devido à indistinguibilidade das bolas da mesma cor.
  • Probabilidades elevadas às potências correspondentes ao número de cada cor sorteada.

Passo 6

Portanto, a função de probabilidade conjunta de X e Y é dada por:
P(X = x, Y = y) = 6x! , y! , (3 - x - y)! cdot (13)^x cdot (12)^y cdot (16)^3 - x - y
Onde x e y são números inteiros não negativos tais que x + y <= 3.

Resposta

A função de probabilidade conjunta de X e Y é:
P(X = x, Y = y) = 6x! , y! , (3 - x - y)! cdot (13)^x cdot (12)^y cdot (16)^3 - x - y
para x, y >= 0 e x + y <= 3.

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