Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja
o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de
e
nos casos em que
b) o sorteio é feito com reposição.
b) o sorteio é feito com reposição.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 2 bolas verdes, totalizando 12 bolas. Vamos sortear 3 bolas com reposição, ou seja, depois de cada sorteio, a bola volta para a urna. Queremos descobrir a função de probabilidade conjunta das variáveis
(número de bolas amarelas sorteadas) e
(número de bolas azuis sorteadas). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades combinatórias e distribuição multinomial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada cor ser sorteada em uma única tentativa. Como há reposição, essas probabilidades permanecem as mesmas a cada sorteio.
-
Probabilidade de sair uma bola amarela (
): -
Probabilidade de sair uma bola azul (
): -
Probabilidade de sair uma bola verde (
):
Passo 3
Como estamos fazendo 3 sorteios com reposição, cada sorteio é independente dos outros. Queremos encontrar a probabilidade de, em 3 sorteios, sair exatamente
bolas amarelas e
bolas azuis.
Sabemos que o total de bolas sorteadas é 3, então:
onde
Passo 4
Agora, para calcular a probabilidade conjunta de
e
, usamos a distribuição multinomial. A fórmula geral para a distribuição multinomial é:
Como
, podemos reescrever a fórmula como:
Passo 5
Vamos detalhar cada parte da fórmula:
- Fatorial:
representa todas as possíveis ordens dos 3 sorteios. - Divisão pelos fatoriais de
, , e elimina as contagens duplicadas devido à indistinguibilidade das bolas da mesma cor. - Probabilidades elevadas às potências correspondentes ao número de cada cor sorteada.
Passo 6
Portanto, a função de probabilidade conjunta de
e
é dada por:
Onde
e
são números inteiros não negativos tais que
.
Resposta
A função de probabilidade conjunta de
e
é:
para
e
.
Exercícios relacionados
Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à direita de cada uma das medidas a seguir.
©
©
Seja
uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
c)
;
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja
o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e
o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
c) Encontre a função de probabilidade marginal de .
c) Encontre a função de probabilidade marginal de
A função de densidade conjunta de
e
é dada por
a) Verifique que
é de fato uma função densidade conjunta;