Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de e nos casos em que
b) o sorteio é feito com reposição.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 2 bolas verdes, totalizando 12 bolas. Vamos sortear 3 bolas com reposição, ou seja, depois de cada sorteio, a bola volta para a urna. Queremos descobrir a função de probabilidade conjunta das variáveis (número de bolas amarelas sorteadas) e (número de bolas azuis sorteadas). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre probabilidades combinatórias e distribuição multinomial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades de cada cor ser sorteada em uma única tentativa. Como há reposição, essas probabilidades permanecem as mesmas a cada sorteio.
  • Probabilidade de sair uma bola amarela ( ):
  • Probabilidade de sair uma bola azul ( ):
  • Probabilidade de sair uma bola verde ( ):

Passo 3

Como estamos fazendo 3 sorteios com reposição, cada sorteio é independente dos outros. Queremos encontrar a probabilidade de, em 3 sorteios, sair exatamente bolas amarelas e bolas azuis.
Sabemos que o total de bolas sorteadas é 3, então:

onde é o número de bolas verdes sorteadas.

Passo 4

Agora, para calcular a probabilidade conjunta de e , usamos a distribuição multinomial. A fórmula geral para a distribuição multinomial é:
Como , podemos reescrever a fórmula como:

Passo 5

Vamos detalhar cada parte da fórmula:
  • Fatorial: representa todas as possíveis ordens dos 3 sorteios.
  • Divisão pelos fatoriais de , , e elimina as contagens duplicadas devido à indistinguibilidade das bolas da mesma cor.
  • Probabilidades elevadas às potências correspondentes ao número de cada cor sorteada.

Passo 6

Portanto, a função de probabilidade conjunta de e é dada por:
Onde e são números inteiros não negativos tais que .

Resposta

A função de probabilidade conjunta de e é:
para e .

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Em uma série ordenada, qual é o percentual de elementos que ficam à direita de cada uma das medidas a seguir.
©
Seja uma variável aleatória com função de distribuição acumulada
c) ;
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
c) Encontre a função de probabilidade marginal de .
A função de densidade conjunta de e é dada por
a) Verifique que é de fato uma função densidade conjunta;