a) Verifique que é de fato uma função densidade conjunta;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função conjunta de densidade de duas variáveis aleatórias, e , definida por
O objetivo aqui é verificar se essa função realmente descreve uma função de densidade conjunta. Para isso, vamos precisar lembrar que uma função de densidade conjunta deve satisfazer duas condições principais:
Não-negatividade: para todo e no domínio.
Integral total igual a 1: A integral dupla de sobre todo o domínio deve ser igual a 1.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se a função é sempre não negativa no domínio dado, ou seja, para e .
Olha só a expressão:
Sabemos que e são sempre positivos quando e são positivos. Além disso, os coeficientes e também são positivos. Portanto, a soma dentro dos parênteses é positiva, e multiplicar por mantém isso positivo. Logo, para todo e no domínio.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a integral dupla de sobre o domínio e é igual a 1. Vamos calcular isso:
Primeiro, a gente resolve a integral interna em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em .
Agora, voltamos à integral externa:
Calculando cada integral:
Somando os resultados:
Resposta
Então, confirmamos que é realmente uma função de densidade conjunta válida, já que satisfaz as duas condições necessárias.