A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=67(x^2+x y2), 0
a) Verifique que f(x, y) é de fato uma função densidade conjunta;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu uma função conjunta de densidade de duas variáveis aleatórias, f(x, y) = 67(x^2 + xy2), 0 < x < 1, 0 < y < 2 e , definida por
O objetivo aqui é verificar se essa função realmente descreve uma função de densidade conjunta. Para isso, vamos precisar lembrar que uma função de densidade conjunta deve satisfazer duas condições principais:
  1. Não-negatividade: para todo e no domínio.
  2. Integral total igual a 1: A integral dupla de sobre todo o domínio deve ser igual a 1.
Vamos verificar cada uma dessas condições passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se a função f(x, y) = 67(x^2 + xy2) é sempre não negativa no domínio dado, ou seja, para e .
Olha só a expressão:
Sabemos que e são sempre positivos quando e são positivos. Além disso, os coeficientes e também são positivos. Portanto, a soma dentro dos parênteses é positiva, e multiplicar por mantém isso positivo. Logo, para todo e no domínio.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a integral dupla de integral0^1 integral0^2 f(x, y) , dy , dx = integral0^1 integral0^2 67(x^2 + xy2) , dy , dx sobre o domínio integral0^2 (x^2 + xy2) , dy = integral0^2 x^2 , dy + integral0^2 xy2 , dy e 67 integral0^1 (2x^2 + x) , dx = 67 ( integral0^1 2x^2 , dx + integral0^1 x , dx ) é igual a 1. Vamos calcular isso:
67 ( 23 + 12 ) = 67 ( 46 + 36 ) = 67 cdot 76 = 1
Primeiro, a gente resolve a integral interna em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em .
Agora, voltamos à integral externa:
Calculando cada integral:
Somando os resultados:

Resposta

Então, confirmamos que é realmente uma função de densidade conjunta válida, já que satisfaz as duas condições necessárias.

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