Dadas variáveis aleatórias e com função densidade conjunta dada por
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
a)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a função densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias, ou seja, encontrar a densidade de . Para isso, vamos usar conceitos de funções densidade conjunta e marginal, além de entender como combinar essas funções quando somamos variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função densidade conjunta de e é dada por:
Isso significa que e são variáveis aleatórias contínuas que assumem valores positivos.

Passo 3

Queremos encontrar a função densidade de . Para isso, usamos a fórmula da convolução para variáveis independentes:
Mas, antes disso, precisamos encontrar as funções densidade marginais de e .

Passo 4

Como a função densidade conjunta é , podemos obter as densidades marginais integrando em relação à outra variável.
Para :
De maneira similar, para :
Então, e são variáveis exponenciais com parâmetro 1.

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da convolução para :
Simplificando, temos:

Resposta

A função densidade de probabilidade de é:

Exercícios relacionados

A função de densidade conjunta de e é dada por
a) Verifique que é de fato uma função densidade conjunta;
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
c) Encontre a função de probabilidade marginal de .
Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de e nos casos em que
a) o sorteio é feito sem reposição,
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
b) Encontre a função de probabilidade marginal de ;