Dadas variáveis aleatórias X e Y com função densidade conjunta dada por
f(x, y)=e^-(x+y), x>0, y>0
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
a) S=X+Y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a função densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias, ou seja, encontrar a densidade de . Para isso, vamos usar conceitos de funções densidade conjunta e marginal, além de entender como combinar essas funções quando somamos variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função densidade conjunta de f(x, y) = e^-(x + y), x > 0, y > 0 e é dada por:
Isso significa que e são variáveis aleatórias contínuas que assumem valores positivos.

Passo 3

Queremos encontrar a função densidade de fS(s) = integral0^s fX(x) fY(s - x) , dx . Para isso, usamos a fórmula da convolução para variáveis independentes:
Mas, antes disso, precisamos encontrar as funções densidade marginais de e .

Passo 4

Como a função densidade conjunta é fX(x) = integral0^infty e^-(x + y) , dy = e^-x integral0^infty e^-y , dy = e^-x cdot 1 = e^-x , podemos obter as densidades marginais integrando em relação à outra variável.
Para fY(y) = integral0^infty e^-(x + y) , dx = e^-y integral0^infty e^-x , dx = e^-y cdot 1 = e^-y :
De maneira similar, para :
Então, e são variáveis exponenciais com parâmetro 1.

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula da convolução para fS(s) = integral0^s fX(x) fY(s - x) , dx = integral0^s e^-x cdot e^-(s - x) , dx = e^-s integral0^s dx = e^-s cdot s :
fS(s) = s cdot e^-s, s > 0
Simplificando, temos:

Resposta

A função densidade de probabilidade de fS(s) = s , e^-s, s > 0 é:

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