Dadas variáveis aleatórias
e
com função densidade conjunta dada por
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
a)
a)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar a função densidade de probabilidade da soma de duas variáveis aleatórias, ou seja, encontrar a densidade de
. Para isso, vamos usar conceitos de funções densidade conjunta e marginal, além de entender como combinar essas funções quando somamos variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função densidade conjunta de
e
é dada por:
Isso significa que
e
são variáveis aleatórias contínuas que assumem valores positivos.
Passo 3
Queremos encontrar a função densidade de
. Para isso, usamos a fórmula da convolução para variáveis independentes:
Mas, antes disso, precisamos encontrar as funções densidade marginais de
e
.
Passo 4
Como a função densidade conjunta é
, podemos obter as densidades marginais integrando em relação à outra variável.
Para
:
De maneira similar, para
:
Então,
e
são variáveis exponenciais com parâmetro 1.
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula da convolução para
:
Simplificando, temos:
Resposta
A função densidade de probabilidade de
é:
Exercícios relacionados
A função de densidade conjunta de
e
é dada por
a) Verifique que
é de fato uma função densidade conjunta;
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja
o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e
o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
c) Encontre a função de probabilidade marginal de .
c) Encontre a função de probabilidade marginal de
Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja
o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de
e
nos casos em que
a) o sorteio é feito sem reposição,
a) o sorteio é feito sem reposição,
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja
o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e
o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
b) Encontre a função de probabilidade marginal de ;
b) Encontre a função de probabilidade marginal de