Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja
o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e
o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
b) Encontre a função de probabilidade marginal de
;
b) Encontre a função de probabilidade marginal de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caixa com 5 lâmpadas, das quais 2 estão com defeito. A gente vai testar essas lâmpadas uma por uma até encontrar as duas defeituosas. A variável
representa quantos testes a gente precisa fazer até encontrar a primeira lâmpada defeituosa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função de probabilidade marginal de
, ou seja, a probabilidade de a primeira lâmpada defeituosa ser encontrada em cada possível teste.
Passo 2
Para resolver isso, primeiro precisamos entender o que é uma função de probabilidade marginal. Basicamente, ela nos diz a probabilidade de uma variável aleatória assumir um certo valor, independentemente das outras variáveis. No nosso caso, queremos saber a probabilidade de
ser igual a 1, 2, 3 ou 4.
Passo 3
Vamos pensar em como as lâmpadas podem ser testadas. Temos 5 lâmpadas no total, e 2 delas estão defeituosas. Quando testamos uma lâmpada, duas coisas podem acontecer: ou ela está boa, ou está com defeito. Queremos saber a probabilidade de a primeira lâmpada defeituosa aparecer no teste número
.
Passo 4
Para que a primeira lâmpada defeituosa apareça no teste
, as lâmpadas testadas antes do
devem ser todas boas, e a lâmpada no teste
deve ser defeituosa. Vamos calcular essa probabilidade passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que as primeiras
lâmpadas testadas sejam boas. Temos 3 lâmpadas boas e 2 defeituosas no total. A probabilidade de uma lâmpada ser boa no primeiro teste é
. Depois de uma lâmpada boa ser testada, restam 2 boas e 2 defeituosas, então a próxima probabilidade é
, e assim por diante, até o teste
.
Passo 6
A probabilidade de todas as
primeiras lâmpadas serem boas é, portanto:
Isso simplifica para:
Passo 7
Depois que as primeiras
testes deram lâmpadas boas, queremos que a lâmpada no teste
seja defeituosa. No ponto
, restam
lâmpadas, das quais ainda estão 2 defeituosas. Então, a probabilidade de o
-ésimo teste ser defeituoso é
.
Passo 8
Multiplicando as duas probabilidades, temos a função de probabilidade marginal de
:
Passo 9
Vamos simplificar isso para valores específicos de
(1, 2, 3, 4):
-
Para
: -
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
A função de probabilidade marginal de
é: