Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja N1 o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e N2 o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
b) Encontre a função de probabilidade marginal de N1;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma caixa com 5 lâmpadas, das quais 2 estão com defeito. A gente vai testar essas lâmpadas uma por uma até encontrar as duas defeituosas. A variável representa quantos testes a gente precisa fazer até encontrar a primeira lâmpada defeituosa. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a função de probabilidade marginal de , ou seja, a probabilidade de a primeira lâmpada defeituosa ser encontrada em cada possível teste.

Passo 2

Para resolver isso, primeiro precisamos entender o que é uma função de probabilidade marginal. Basicamente, ela nos diz a probabilidade de uma variável aleatória assumir um certo valor, independentemente das outras variáveis. No nosso caso, queremos saber a probabilidade de ser igual a 1, 2, 3 ou 4.

Passo 3

Vamos pensar em como as lâmpadas podem ser testadas. Temos 5 lâmpadas no total, e 2 delas estão defeituosas. Quando testamos uma lâmpada, duas coisas podem acontecer: ou ela está boa, ou está com defeito. Queremos saber a probabilidade de a primeira lâmpada defeituosa aparecer no teste número .

Passo 4

Para que a primeira lâmpada defeituosa apareça no teste , as lâmpadas testadas antes do devem ser todas boas, e a lâmpada no teste deve ser defeituosa. Vamos calcular essa probabilidade passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de que as primeiras lâmpadas testadas sejam boas. Temos 3 lâmpadas boas e 2 defeituosas no total. A probabilidade de uma lâmpada ser boa no primeiro teste é . Depois de uma lâmpada boa ser testada, restam 2 boas e 2 defeituosas, então a próxima probabilidade é , e assim por diante, até o teste .

Passo 6

A probabilidade de todas as 35 times 24 times cdots times 3 - (k - 2)5 - (k - 2) primeiras lâmpadas serem boas é, portanto:
3!(3 - (k - 1))! div 5!(5 - (k - 1))!
Isso simplifica para:

Passo 7

Depois que as primeiras testes deram lâmpadas boas, queremos que a lâmpada no teste seja defeituosa. No ponto , restam lâmpadas, das quais ainda estão 2 defeituosas. Então, a probabilidade de o -ésimo teste ser defeituoso é .

Passo 8

Multiplicando as duas probabilidades, temos a função de probabilidade marginal de P(N1 = k) = ( 3!(3 - (k - 1))! div 5!(5 - (k - 1))! ) times 26 - k :

Passo 9

Vamos simplificar isso para valores específicos de P(N1 = 1) = 25 (1, 2, 3, 4):
  • Para P(N1 = 2) = 35 times 24 = 310 :
    P(N1 = 3) = 35 times 24 times 23 = 15
  • Para P(N1 = 4) = 35 times 24 times 13 times 22 = 110 :
  • Para :
  • Para :

Resposta

A função de probabilidade marginal de P(N1 = k) = 25 & se k = 1 310 & se k = 2 15 & se k = 3 110 & se k = 4 0 & caso contrário é:
á

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