Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de e nos casos em que
a) o sorteio é feito sem reposição,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 2 bolas verdes, totalizando 12 bolas. Vamos sortear 3 bolas sem reposição. Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta de e , onde é o número de bolas amarelas sorteadas e é o número de bolas azuis sorteadas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação e probabilidade sem reposição.

Passo 2

Como estamos sorteando 3 bolas sem reposição de um total de 12, o número total de combinações possíveis é dado por:
Essa é a nossa base para calcular as probabilidades.

Passo 3

Agora, vamos considerar os possíveis valores que e podem assumir. Como estamos sorteando 3 bolas, as combinações possíveis de são:
  • : 0 amarelas e 0 azuis (todas verdes)
  • : 0 amarelas, 1 azul e 2 verdes
  • : 0 amarelas, 2 azuis e 1 verde
  • : 0 amarelas e 3 azuis
  • : 1 amarela e 2 verdes
  • : 1 amarela, 1 azul e 1 verde
  • : 1 amarela e 2 azuis
  • : 2 amarelas e 1 verde
  • : 2 amarelas e 1 azul
  • : 3 amarelas
Vamos calcular a probabilidade para cada um desses casos.

Passo 4

Para cada combinação , calculamos a probabilidade usando a seguinte fórmula:
Essa fórmula considera todas as maneiras de escolher amarelas, azuis e o restante verdes.

Passo 5

Vamos calcular as probabilidades para cada combinação:
á

Resposta

A função de probabilidade conjunta de e é:

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Dadas variáveis aleatórias e com função densidade conjunta dada por
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
a)
A função de densidade conjunta de e é dada por
a) Verifique que é de fato uma função densidade conjunta;
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
b) Encontre a função de probabilidade marginal de ;
Dadas variáveis aleatórias e com função densidade conjunta dada por
c)