Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja
o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de
e
nos casos em que
a) o sorteio é feito sem reposição,
a) o sorteio é feito sem reposição,
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 2 bolas verdes, totalizando 12 bolas. Vamos sortear 3 bolas sem reposição. Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta de
e
, onde
é o número de bolas amarelas sorteadas e
é o número de bolas azuis sorteadas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação e probabilidade sem reposição.
Passo 2
Como estamos sorteando 3 bolas sem reposição de um total de 12, o número total de combinações possíveis é dado por:
Essa é a nossa base para calcular as probabilidades.
Passo 3
Agora, vamos considerar os possíveis valores que
e
podem assumir. Como estamos sorteando 3 bolas, as combinações possíveis de
são:
-
: 0 amarelas e 0 azuis (todas verdes) -
: 0 amarelas, 1 azul e 2 verdes -
: 0 amarelas, 2 azuis e 1 verde -
: 0 amarelas e 3 azuis -
: 1 amarela e 2 verdes -
: 1 amarela, 1 azul e 1 verde -
: 1 amarela e 2 azuis -
: 2 amarelas e 1 verde -
: 2 amarelas e 1 azul -
: 3 amarelas
Vamos calcular a probabilidade para cada um desses casos.
Passo 4
Para cada combinação
, calculamos a probabilidade usando a seguinte fórmula:
Essa fórmula considera todas as maneiras de escolher
amarelas,
azuis e o restante verdes.
Passo 5
Vamos calcular as probabilidades para cada combinação:
Resposta
A função de probabilidade conjunta de
e
é:
Exercícios relacionados
Dadas variáveis aleatórias
e
com função densidade conjunta dada por
encontre a função densidade de probabilidade das variáveis
a)
a)
A função de densidade conjunta de
e
é dada por
a) Verifique que
é de fato uma função densidade conjunta;
Uma caixa com 5 lâmpadas possui 2 com defeito. As lâmpadas serão testadas uma a uma, até que todas as defeituosas sejam identificadas. Seja
o total de testes realizados até que a primeira lâmpada defeituosa seja identificada, e
o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
b) Encontre a função de probabilidade marginal de ;
b) Encontre a função de probabilidade marginal de
Dadas variáveis aleatórias
e
com função densidade conjunta dada por
c)