Sorteamos 3 bolas de uma urna com 4 bolas amarelas e 6 bolas azuis e 2 bolas verdes. Seja X o total de bolas amarelas sorteadas e Y o total de bolas azuis sorteadas. Nestas condições, encontre a função de probabilidade conjunta de X e Y nos casos em que
a) o sorteio é feito sem reposição,

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma urna com 4 bolas amarelas, 6 bolas azuis e 2 bolas verdes, totalizando 12 bolas. Vamos sortear 3 bolas sem reposição. Queremos encontrar a função de probabilidade conjunta de e , onde é o número de bolas amarelas sorteadas e é o número de bolas azuis sorteadas. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de combinação e probabilidade sem reposição.

Passo 2

Como estamos sorteando 3 bolas sem reposição de um total de 12, o número total de combinações possíveis é dado por:
binom123
Essa é a nossa base para calcular as probabilidades.

Passo 3

Agora, vamos considerar os possíveis valores que e podem assumir. Como estamos sorteando 3 bolas, as combinações possíveis de são:
  • : 0 amarelas e 0 azuis (todas verdes)
  • : 0 amarelas, 1 azul e 2 verdes
  • : 0 amarelas, 2 azuis e 1 verde
  • : 0 amarelas e 3 azuis
  • : 1 amarela e 2 verdes
  • : 1 amarela, 1 azul e 1 verde
  • : 1 amarela e 2 azuis
  • : 2 amarelas e 1 verde
  • : 2 amarelas e 1 azul
  • : 3 amarelas
Vamos calcular a probabilidade para cada um desses casos.

Passo 4

Para cada combinação P(X=x, Y=y) = binom4x times binom6y times binom23 - x - ybinom123 , calculamos a probabilidade usando a seguinte fórmula:
Essa fórmula considera todas as maneiras de escolher amarelas, azuis e o restante verdes.

Passo 5

Vamos calcular as probabilidades para cada combinação:
  1. binom40 times binom60 times binom23binom123 = 0 (já que binom23 = 0)
binom40 times binom61 times binom22binom123 = 1 times 6 times 1220 = 6220 = 3110 á
  1. binom40 times binom62 times binom21binom123 = 1 times 15 times 2220 = 30220 = 322
binom40 times binom63 times binom20binom123 = 1 times 20 times 1220 = 20220 = 111
  1. binom41 times binom60 times binom22binom123 = 4 times 1 times 1220 = 4220 = 155
binom41 times binom61 times binom21binom123 = 4 times 6 times 2220 = 48220 = 1255
  1. binom41 times binom62 times binom20binom123 = 4 times 15 times 1220 = 60220 = 311
binom42 times binom60 times binom21binom123 = 6 times 1 times 2220 = 12220 = 6110 = 355
  1. binom42 times binom61 times binom20binom123 = 6 times 6 times 1220 = 36220 = 955
binom43 times binom60 times binom20binom123 = 4 times 1 times 1220 = 4220 = 155

Resposta

A função de probabilidade conjunta de c|cccccc (X,Y) & (0,0) & (0,1) & (0,2) & (0,3) & (1,0) & (1,1) & (1,2) & (2,0) & (2,1) & (3,0) hline P(X,Y) & 0 & 3110 & 322 & 111 & 155 & 1255 & 311 & 355 & 955 & 155 e é:

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