Sejam variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição de Bernoulli de parâmetro . Mostre por indução que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a soma de várias variáveis aleatórias de Bernoulli, que são todas independentes e têm a mesma probabilidade de sucesso , segue uma distribuição Binomial com parâmetros e . Isso está dentro do conteúdo de Teoria das Probabilidades, especificamente sobre Distribuições de Probabilidade. Para resolver isso, vamos usar o método de indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as distribuições envolvidas:
  • Distribuição de Bernoulli: Uma variável aleatória que assume o valor 1 (sucesso) com probabilidade e 0 (fracasso) com probabilidade . Formalmente,
  • Distribuição Binomial: A soma de variáveis de Bernoulli independentes segue uma distribuição Binomial com parâmetros e . Ou seja, se , então

Passo 3

Vamos usar indução matemática para provar isso. A indução tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Base da Indução (n = 1):
Para , temos apenas uma variável de Bernoulli . A soma claramente segue a distribuição Binomial com e , porque:
que é exatamente a definição de uma Binomial(1, p).

Passo 4

Passo Indutivo:
Assumimos que a soma de variáveis de Bernoulli independentes segue uma distribuição Binomial . Ou seja,
Agora, precisamos mostrar que a soma de variáveis, , também segue uma distribuição Binomial .

Passo 5

Para isso, vamos calcular a função geradora de probabilidades da soma . Sabemos que e são independentes, então:
Substituindo as probabilidades:
Simplificando, isso se torna:
Isso mostra que segue uma distribuição Binomial .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a soma de variáveis aleatórias de Bernoulli independentes e identicamente distribuídas com parâmetro segue uma distribuição Binomial .

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