Sejam
variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição de Bernoulli de parâmetro
. Mostre por indução que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a soma de várias variáveis aleatórias de Bernoulli, que são todas independentes e têm a mesma probabilidade de sucesso
, segue uma distribuição Binomial com parâmetros
e
. Isso está dentro do conteúdo de Teoria das Probabilidades, especificamente sobre Distribuições de Probabilidade. Para resolver isso, vamos usar o método de indução matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são as distribuições envolvidas:
-
Distribuição de Bernoulli: Uma variável aleatória
que assume o valor 1 (sucesso) com probabilidade e 0 (fracasso) com probabilidade . Formalmente, -
Distribuição Binomial: A soma de
variáveis de Bernoulli independentes segue uma distribuição Binomial com parâmetros e . Ou seja, se , então
Passo 3
Vamos usar indução matemática para provar isso. A indução tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Base da Indução (n = 1):
Para , temos apenas uma variável de Bernoulli
. A soma
claramente segue a distribuição Binomial com
e
, porque:
Para
que é exatamente a definição de uma Binomial(1, p).
Passo 4
Passo Indutivo:
Assumimos que a soma de variáveis de Bernoulli independentes
segue uma distribuição Binomial
. Ou seja,
Assumimos que a soma de
Agora, precisamos mostrar que a soma de
variáveis,
, também segue uma distribuição Binomial
.
Passo 5
Para isso, vamos calcular a função geradora de probabilidades da soma
. Sabemos que
e
são independentes, então:
Substituindo as probabilidades:
Simplificando, isso se torna:
Isso mostra que
segue uma distribuição Binomial
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a soma
de
variáveis aleatórias de Bernoulli independentes e identicamente distribuídas com parâmetro
segue uma distribuição Binomial
.
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e
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o total de testes até a segunda lâmpada ser identificada.
b) Encontre a função de probabilidade marginal de ;
b) Encontre a função de probabilidade marginal de
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o total de lançamentos necessários até observarmos um valor diferente de 6, e denote por
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O que diz a sua intuição? e
devem ser independentes?
O que diz a sua intuição?
A função de probabilidade conjunta de
e
é dada por
Encontre as funções de probabilidade marginais de
e
;