Sejam X1, X2, ldots, Xn variáveis aleatórias i.i.d. com distribuição de Bernoulli de parâmetro p in(0,1). Mostre por indução que X1+cdots+Xn sim Binomial(n, p).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a soma de várias variáveis aleatórias de Bernoulli, que são todas independentes e têm a mesma probabilidade de sucesso , segue uma distribuição Binomial com parâmetros e . Isso está dentro do conteúdo de Teoria das Probabilidades, especificamente sobre Distribuições de Probabilidade. Para resolver isso, vamos usar o método de indução matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são as distribuições envolvidas:
  • Distribuição de Bernoulli: Uma variável aleatória P(X=1) = p e P(X=0) = 1 - p que assume o valor 1 (sucesso) com probabilidade Sn sim Binomial(n, p) e 0 (fracasso) com probabilidade . Formalmente,
  • Distribuição Binomial: A soma de variáveis de Bernoulli independentes segue uma distribuição Binomial com parâmetros e . Ou seja, se , então

Passo 3

Vamos usar indução matemática para provar isso. A indução tem dois passos principais: a base da indução e o passo indutivo.
Base da Indução (n = 1):
Para P(S1 = 1) = p e P(S1 = 0) = 1 - p, , temos apenas uma variável de Bernoulli . A soma claramente segue a distribuição Binomial com e , porque:
que é exatamente a definição de uma Binomial(1, p).

Passo 4

Passo Indutivo:
Assumimos que a soma de Sk sim Binomial(k, p) variáveis de Bernoulli independentes segue uma distribuição Binomial . Ou seja,
Agora, precisamos mostrar que a soma de variáveis, , também segue uma distribuição Binomial .

Passo 5

Para isso, vamos calcular a função geradora de probabilidades da soma P(Sk+1 = m) = P(Sk + Xk+1 = m) = P(Sk = m) cdot P(Xk+1 = 0) + P(Sk = m-1) cdot P(Xk+1 = 1) . Sabemos que P(Sk+1 = m) = binomkm p^m (1-p)^k-m (1-p) + binomkm-1 p^m-1 (1-p)^k - (m-1) p e P(Sk+1 = m) = binomk+1m p^m (1-p)^(k+1)-m são independentes, então:
Substituindo as probabilidades:
Simplificando, isso se torna:
Isso mostra que segue uma distribuição Binomial .

Resposta

Portanto, por indução matemática, a soma de variáveis aleatórias de Bernoulli independentes e identicamente distribuídas com parâmetro segue uma distribuição Binomial .

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