Dadas variáveis aleatórias e com função densidade conjunta dada por
c)

Passo 1

Então, vamos resolver a parte c) do exercício. Aqui, temos duas variáveis aleatórias contínuas e com uma função densidade conjunta dada por:
Queremos encontrar a distribuição da variável . Vamos precisar usar conceitos de teoria das probabilidades, especificamente sobre funções densidade conjunta e transformações de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que é a maior entre e . Para encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de , que é , precisamos calcular a probabilidade de que tanto quanto sejam menores ou iguais a .

Passo 3

Sabemos que:
Como e são variáveis aleatórias independentes (a função densidade conjunta é o produto das densidades marginais), podemos escrever:

Passo 4

Vamos encontrar a função de distribuição acumulada de e de . Como a função densidade de é para , a CDF de é:
O mesmo vale para , já que a densidade de também é .

Passo 5

Então, substituindo na expressão de :
Agora, para encontrar a função densidade de , derivamos a CDF em relação a :

Passo 6

Vamos derivar:
Essa é a função densidade de , válida para .

Resposta

A função densidade de é:

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