Dadas variáveis aleatórias
e
com função densidade conjunta dada por
c)
Passo 1
Então, vamos resolver a parte c) do exercício. Aqui, temos duas variáveis aleatórias contínuas
e
com uma função densidade conjunta dada por:
Queremos encontrar a distribuição da variável
. Vamos precisar usar conceitos de teoria das probabilidades, especificamente sobre funções densidade conjunta e transformações de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
é a maior entre
e
. Para encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de
, que é
, precisamos calcular a probabilidade de que tanto
quanto
sejam menores ou iguais a
.
Passo 3
Sabemos que:
Como
e
são variáveis aleatórias independentes (a função densidade conjunta é o produto das densidades marginais), podemos escrever:
Passo 4
Vamos encontrar a função de distribuição acumulada de
e de
. Como a função densidade de
é
para
, a CDF de
é:
O mesmo vale para
, já que a densidade de
também é
.
Passo 5
Então, substituindo na expressão de
:
Agora, para encontrar a função densidade de
, derivamos a CDF em relação a
:
Passo 6
Vamos derivar:
Essa é a função densidade de
, válida para
.
Resposta
A função densidade de
é: