Dadas variáveis aleatórias X e Y com função densidade conjunta dada por
f(x, y)=e^-(x+y), x>0, y>0
c) W=max X, Y

Passo 1

Então, vamos resolver a parte c) do exercício. Aqui, temos duas variáveis aleatórias contínuas f(x, y) = e^-(x + y), x > 0, y > 0 e com uma função densidade conjunta dada por:
Queremos encontrar a distribuição da variável . Vamos precisar usar conceitos de teoria das probabilidades, especificamente sobre funções densidade conjunta e transformações de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que é a maior entre e . Para encontrar a função de distribuição acumulada (CDF) de , que é , precisamos calcular a probabilidade de que tanto quanto sejam menores ou iguais a .

Passo 3

Sabemos que:
P(W <= w) = P(maxX, Y <= w) = P(X <= w e Y <= w)
Como P(X <= w e Y <= w) = P(X <= w) cdot P(Y <= w) e são variáveis aleatórias independentes (a função densidade conjunta é o produto das densidades marginais), podemos escrever:

Passo 4

Vamos encontrar a função de distribuição acumulada de FX(w) = P(X <= w) = integral0^w e^-x dx = 1 - e^-w e de . Como a função densidade de é para , a CDF de é:
O mesmo vale para , já que a densidade de também é .

Passo 5

Então, substituindo na expressão de P(W <= w) = FX(w) cdot FY(w) = (1 - e^-w)^2 :
fW(w) = ddw P(W <= w) = ddw (1 - e^-w)^2
Agora, para encontrar a função densidade de , derivamos a CDF em relação a :

Passo 6

Vamos derivar:
fW(w) = 2(1 - e^-w) cdot e^-w = 2e^-w - 2e^-2w
Essa é a função densidade de , válida para .

Resposta

A função densidade de fW(w) = 2e^-w - 2e^-2w, w > 0 é:

Exercícios relacionados