Uma caixa de massa
repousa sobre uma estante horizontal sem atrito, e é fixada através de cabos a duas caixas com massa
e
, penduradas livremente, conforme mostrado na figura. Ambas as roldanas são consideradas sem atrito e sem massa. O sistema, inicialmente, é mantido em repouso. Após ser liberado, determine a força de tração em cada cabo.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui! Temos uma caixa de 3,5 kg descansando numa estante sem atrito. Ela tá ligada por cabos a duas outras caixas, uma de 1,5 kg e outra de 2,5 kg, que estão penduradas. A gente quer descobrir qual é a força de tração em cada um desses cabos quando soltamos o sistema. Vamos usar conceitos de Forças e Dinâmica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando soltamos o sistema, as caixas penduradas vão começar a se mover devido à gravidade. A força que puxa cada caixa pendurada é o peso delas, que é calculado usando a fórmula:
Onde:
- $ m $ é a massa da caixa
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $)
Passo 3
Vamos calcular o peso de cada caixa pendurada:
Para a caixa de 1,5 kg:
Para a caixa de 2,5 kg:
Passo 4
Agora, vamos considerar as forças na caixa da estante de 3,5 kg. Como a estante está sem atrito, a única força horizontal atuando nela são as tração nos dois cabos. Vamos chamar as tensões nos cabos de $ T_1
T_3 $, correspondentes às caixas de 1,5 kg e 2,5 kg respectivamente.
Passo 5
De acordo com a segunda lei de Newton, $ F = m \times a $, onde $ a $ é a aceleração do sistema. Como as duas caixas penduradas estão ligadas à estante, a aceleração delas será a mesma do sistema.
Vamos montar as equações de movimento para cada caixa:
Para a caixa de 1,5 kg:
Para a caixa de 2,5 kg:
Passo 6
Agora, para a estante de 3,5 kg, a soma das forças horizontais é igual à massa da estante vezes a aceleração:
Passo 7
Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas ($ T_1 $, $ T_3 $ e $ a $). Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da equação da estante:
Vamos substituir esse valor de $ a $ nas equações das caixas penduradas:
Para a caixa de 1,5 kg:
Multiplicando ambos os lados por 3,5:
Para a caixa de 2,5 kg:
Multiplicando ambos os lados por 3,5:
Passo 8
Agora temos duas equações:
(1) $ 5 T_1 + 1,5 T_3 = 51,45 $
(2) $ 2,5 T_1 + 6 T_3 = 85,75 $
Podemos resolver esse sistema de equações. Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar:
Agora, multiplicar a equação (2) por 4:
Agora, subtraímos a equação (1a) da equação (2a):
Passo 9
Agora que temos $ T_3 $, vamos substituir esse valor na equação (1):
Resposta
A força de tração no cabo ligado à caixa de 1,5 kg é aproximadamente 6,86 N e no cabo ligado à caixa de 2,5 kg é aproximadamente 11,43 N.