Uma caixa de massa m2=3,5 kg repousa sobre uma estante horizontal sem atrito, e é fixada através de cabos a duas caixas com massa m1= 1,5 kg e m3=2,5 kg, penduradas livremente, conforme mostrado na figura. Ambas as roldanas são consideradas sem atrito e sem massa. O sistema, inicialmente, é mantido em repouso. Após ser liberado, determine a força de tração em cada cabo.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que tá rolando aqui! Temos uma caixa de 3,5 kg descansando numa estante sem atrito. Ela tá ligada por cabos a duas outras caixas, uma de 1,5 kg e outra de 2,5 kg, que estão penduradas. A gente quer descobrir qual é a força de tração em cada um desses cabos quando soltamos o sistema. Vamos usar conceitos de Forças e Dinâmica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando soltamos o sistema, as caixas penduradas vão começar a se mover devido à gravidade. A força que puxa cada caixa pendurada é o peso delas, que é calculado usando a fórmula:
F = m times g
Onde:
  • $ m $ é a massa da caixa
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $)

Passo 3

Vamos calcular o peso de cada caixa pendurada:
Para a caixa de 1,5 kg:
F1 = 1,5 , kg times 9,8 , m/s² = 14,7 , N ²
Para a caixa de 2,5 kg:
F3 = 2,5 , kg times 9,8 , m/s² = 24,5 , N ²

Passo 4

Agora, vamos considerar as forças na caixa da estante de 3,5 kg. Como a estante está sem atrito, a única força horizontal atuando nela são as tração nos dois cabos. Vamos chamar as tensões nos cabos de $ T_1 T1 T_3 $, correspondentes às caixas de 1,5 kg e 2,5 kg respectivamente.

Passo 5

De acordo com a segunda lei de Newton, $ F = m \times a $, onde $ a $ é a aceleração do sistema. Como as duas caixas penduradas estão ligadas à estante, a aceleração delas será a mesma do sistema.
Vamos montar as equações de movimento para cada caixa:
Para a caixa de 1,5 kg:
F = m times a
a
Para a caixa de 2,5 kg:
F1 - T1 = m1 times a
14,7 , N - T1 = 1,5 , kg times a

Passo 6

Agora, para a estante de 3,5 kg, a soma das forças horizontais é igual à massa da estante vezes a aceleração:
T1 + T3 = m2 times a
T1 + T3 = 3,5 , kg times a

Passo 7

Agora temos um sistema de três equações com três incógnitas ($ T_1 $, $ T_3 $ e $ a $). Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da equação da estante:
T1
Vamos substituir esse valor de $ a $ nas equações das caixas penduradas:
Para a caixa de 1,5 kg:
T3
Multiplicando ambos os lados por 3,5:
a
a = T1 + T33,5
a \quad (1)
Para a caixa de 2,5 kg:
14,7 - T1 = 1,5 times ( T1 + T33,5 )
Multiplicando ambos os lados por 3,5:
51,45 - 3,5 T1 = 1,5 (T1 + T3)
51,45 - 3,5 T1 = 1,5 T1 + 1,5 T3
51,45 = 5 T1 + 1,5 T3 \quad (2)

Passo 8

Agora temos duas equações:
(1) $ 5 T_1 + 1,5 T_3 = 51,45 $
(2) $ 2,5 T_1 + 6 T_3 = 85,75 $
Podemos resolver esse sistema de equações. Vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar:
5 T1 + 1,5 T3 = 51,45 \quad (1a)
Agora, multiplicar a equação (2) por 4:
2,5 T1 + 6 T3 = 85,75 \quad (2a)
Agora, subtraímos a equação (1a) da equação (2a):
10 T1 + 3 T3 = 102,9
10 T1 + 24 T3 = 343
(10 T1 + 24 T3) - (10 T1 + 3 T3) = 343 - 102,9
21 T3 = 240,1

Passo 9

Agora que temos $ T_3 $, vamos substituir esse valor na equação (1):
T3
5 T1 + 1,5 times 11,43 = 51,45
5 T1 + 17,145 = 51,45
5 T1 = 34,305
T1 = 34,3055

Resposta

A força de tração no cabo ligado à caixa de 1,5 kg é aproximadamente 6,86 N e no cabo ligado à caixa de 2,5 kg é aproximadamente 11,43 N.

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