Dois corpos estão ligados por um fio leve que passa por uma polia sem atrito. Se o plano possui um coeficiente de atrito mud=0,1 e se m1= 2,0 kg e m2=6,0 kg, e theta=55^circ, encontre a tensão no fio.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois corpos ligados por um fio passando por uma polia sem atrito. Um dos corpos, com massa $ m_1 = 2,0 , kg $, está sobre um plano inclinado com ângulo $ \theta = 55^\circ $ e coeficiente de atrito $ \mu_d = 0,1 $. O outro corpo, com massa $ m_2 = 6,0 , kg $, está pendurado. Nosso objetivo é encontrar a tensão no fio que os conecta. Para isso, vamos usar conceitos de forças, atrito e a segunda lei de Newton.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as forças que atuam em cada corpo. Vamos começar com o corpo $ m_1 $ que está no plano inclinado.
No $ m_1 $:
  • A força da gravidade pode ser decomposta em duas componentes: uma paralela ao plano ($ m_1 g \sin \theta m1 m_1 g \cos \theta $).
  • A força de atrito ($ f $) que vai contra o movimento é dada por $ f = \mu_d \cdot N $, onde $ N $ é a força normal. Como $ N = m_1 g \cos \theta $, então $ f = \mu_d m_1 g \cos \theta $.
  • A tensão no fio ($ T $) está puxando o corpo ( m_1 \para cima do plano.

Passo 3

Agora, vamos olhar para o corpo $ m_2 $, que está pendurado.
No $ m_2 $:
  • A única força atuando além da tensão é a força da gravidade ($ m_2 g $) puxando o corpo para baixo.
  • A tensão no fio ($ T $) está puxando o corpo $ m_2 $ para cima.

Passo 4

Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada corpo. A segunda lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ($ F = m a $).
Para $ m_1 $ no plano inclinado:
F = m a
Substituindo $ f $ por $ \mu_d m_1 g \cos \theta $:
m1
Para $ m_2 $ pendurado:
T - m1 g sin theta - f = m1 a

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ T $ e $ a $). Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, vamos isolar $ T $ na segunda equação:
T
Agora, substituímos $ T $ na primeira equação:
a

Passo 6

Vamos organizar os termos para resolver $ a $:
a
m2 g - m1 g sin theta - mud m1 g cos theta = m1 a + m2 a
Agora, resolvemos para $ a $:
m2 g - m1 g sin theta - mud m1 g cos theta = (m1 + m2) a

Passo 7

Vamos calcular o valor da aceleração $ a $ usando os valores fornecidos:
  • $ m_1 = 2,0 , kg $
  • $ m_2 = 6,0 , kg $
  • $ \mu_d = 0,1 $
  • $ \theta = 55^\circ $
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $
Primeiro, calculamos as componentes:
a
m1 = 2,0 , kg
Calculando:
m2 = 6,0 , kg
mud = 0,1
theta = 55^circ
g = 9,8 , m/s^2
m1 g sin theta = 2,0 times 9,8 times sin(55^circ)
m1 g cos theta = 2,0 times 9,8 times cos(55^circ)
Substituindo na equação de $ a $:
sin(55^circ) approx 0,8192
cos(55^circ) approx 0,5736
m1 g sin theta approx 2,0 times 9,8 times 0,8192 approx 16,03 , N

Passo 8

Agora que temos $ a $, vamos encontrar a tensão $ T $ usando a segunda equação:
a
T
T = m2 g - m2 a
T = 6,0 times 9,8 - 6,0 times 5,21

Resposta

A tensão no fio é aproximadamente $ 27,5 , N $.

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