Dois corpos estão ligados por um fio leve que passa por uma polia sem atrito. Se o plano possui um coeficiente de atrito
e se
e
, e
, encontre a tensão no fio.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois corpos ligados por um fio passando por uma polia sem atrito. Um dos corpos, com massa $ m_1 = 2,0 , kg $, está sobre um plano inclinado com ângulo $ \theta = 55^\circ $ e coeficiente de atrito $ \mu_d = 0,1 $. O outro corpo, com massa $ m_2 = 6,0 , kg $, está pendurado. Nosso objetivo é encontrar a tensão no fio que os conecta. Para isso, vamos usar conceitos de forças, atrito e a segunda lei de Newton.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar as forças que atuam em cada corpo. Vamos começar com o corpo $ m_1 $ que está no plano inclinado.
No $ m_1 $:
- A força da gravidade pode ser decomposta em duas componentes: uma paralela ao plano ($ m_1 g \sin \theta
m_1 g \cos \theta $). - A força de atrito ($ f $) que vai contra o movimento é dada por $ f = \mu_d \cdot N $, onde $ N $ é a força normal. Como $ N = m_1 g \cos \theta $, então $ f = \mu_d m_1 g \cos \theta $.
- A tensão no fio ($ T $) está puxando o corpo ( m_1 \para cima do plano.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o corpo $ m_2 $, que está pendurado.
No $ m_2 $:
- A única força atuando além da tensão é a força da gravidade ($ m_2 g $) puxando o corpo para baixo.
- A tensão no fio ($ T $) está puxando o corpo $ m_2 $ para cima.
Passo 4
Vamos aplicar a segunda lei de Newton para cada corpo. A segunda lei diz que a força resultante é igual à massa vezes a aceleração ($ F = m a $).
Para $ m_1 $ no plano inclinado:
Substituindo $ f $ por $ \mu_d m_1 g \cos \theta $:
Para $ m_2 $ pendurado:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ T $ e $ a $). Vamos resolver esse sistema.
Primeiro, vamos isolar $ T $ na segunda equação:
Agora, substituímos $ T $ na primeira equação:
Passo 6
Vamos organizar os termos para resolver $ a $:
Agora, resolvemos para $ a $:
Passo 7
Vamos calcular o valor da aceleração $ a $ usando os valores fornecidos:
- $ m_1 = 2,0 , kg $
- $ m_2 = 6,0 , kg $
- $ \mu_d = 0,1 $
- $ \theta = 55^\circ $
- $ g = 9,8 , m/s^2 $
Primeiro, calculamos as componentes:
Calculando:
Substituindo na equação de $ a $:
Passo 8
Agora que temos $ a $, vamos encontrar a tensão $ T $ usando a segunda equação:
Resposta
A tensão no fio é aproximadamente $ 27,5 , N $.