Uma caixa retangular aberta deve ser fabricada com uma folha de papelão de
, recortando quadrados nos quatro cantos e depois dobrando a folha nas linhas determinadas pelos cortes. Existe alguma medida do corte que produza uma caixa com volume máximo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma folha de papelão que mede
e precisamos cortar quadrados nos quatro cantos para formar uma caixa aberta depois de dobrar as laterais. Queremos descobrir qual o tamanho desses quadrados que fará com que a caixa tenha o volume máximo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o lado do quadrado que vamos cortar de
. Ao cortar esses quadrados e dobrar as laterais, a base da caixa vai ter comprimento e largura reduzidos em
cada. Então, as dimensões da base da caixa serão
centímetros de largura e
centímetros de comprimento.
Passo 3
O volume da caixa (
) é dado pelo produto do comprimento, largura e altura. A altura da caixa será igual ao lado do quadrado que cortamos, ou seja,
. Então, a fórmula para o volume fica:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos derivar essa função em relação a
e encontrar onde a derivada é zero (pontos críticos). Primeiro, vamos expandir a expressão do volume:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Dividindo todos os termos por 6:
Rearranjando:
Passo 6
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos verificar qual desses valores faz sentido no contexto do problema. O valor de
deve ser positivo e menor que metade da menor dimensão da folha (que é 15 cm), ou seja,
. Calculando:
Esse valor é maior que 7,5 cm, então descartamos. Então, temos:
Resposta
O tamanho do corte que produz a caixa com volume máximo é aproximadamente
.
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no ponto onde
.