Uma caixa retangular aberta deve ser fabricada com uma folha de papelão de , recortando quadrados nos quatro cantos e depois dobrando a folha nas linhas determinadas pelos cortes. Existe alguma medida do corte que produza uma caixa com volume máximo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma folha de papelão que mede e precisamos cortar quadrados nos quatro cantos para formar uma caixa aberta depois de dobrar as laterais. Queremos descobrir qual o tamanho desses quadrados que fará com que a caixa tenha o volume máximo. Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo básico.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o lado do quadrado que vamos cortar de . Ao cortar esses quadrados e dobrar as laterais, a base da caixa vai ter comprimento e largura reduzidos em cada. Então, as dimensões da base da caixa serão centímetros de largura e centímetros de comprimento.

Passo 3

O volume da caixa ( ) é dado pelo produto do comprimento, largura e altura. A altura da caixa será igual ao lado do quadrado que cortamos, ou seja, . Então, a fórmula para o volume fica:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, precisamos derivar essa função em relação a e encontrar onde a derivada é zero (pontos críticos). Primeiro, vamos expandir a expressão do volume:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a :
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Dividindo todos os termos por 6:
Rearranjando:

Passo 6

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Simplificando:

Passo 7

Agora, precisamos verificar qual desses valores faz sentido no contexto do problema. O valor de deve ser positivo e menor que metade da menor dimensão da folha (que é 15 cm), ou seja, . Calculando:
Esse valor é maior que 7,5 cm, então descartamos. Então, temos:

Resposta

O tamanho do corte que produz a caixa com volume máximo é aproximadamente .

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