Determine a equação da reta tangente a função
no ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à função
no ponto onde
. Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e depois montar a equação dessa reta.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
, que nos dá o ponto onde a reta tangente vai tocar a função. Vamos substituir
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada de
, que é
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
.
Passo 4
Vamos derivar
. Como temos um produto de duas funções, usamos a regra do produto:
Passo 5
Calculando as derivadas individuais:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 7
Podemos fatorar
:
Passo 8
Agora, vamos encontrar
, que é a inclinação da reta tangente no ponto
:
Passo 9
Com a inclinação
e sabendo que a reta passa pelo ponto
, podemos usar a forma da equação da reta:
Como passa por
:
Resposta
A equação da reta tangente é
.
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.
Seja
. Determine
.