Determine a equação da reta tangente a função no ponto onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para a gente encontrar a equação da reta tangente à função no ponto onde . Aqui, vamos usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e depois montar a equação dessa reta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de , que nos dá o ponto onde a reta tangente vai tocar a função. Vamos substituir na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, para achar a inclinação da reta tangente, precisamos calcular a derivada de , que é . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 4

Vamos derivar . Como temos um produto de duas funções, usamos a regra do produto:

Passo 5

Calculando as derivadas individuais:

Passo 6

Substituindo de volta na expressão de :

Passo 7

Podemos fatorar :

Passo 8

Agora, vamos encontrar , que é a inclinação da reta tangente no ponto :

Passo 9

Com a inclinação e sabendo que a reta passa pelo ponto , podemos usar a forma da equação da reta:
Como passa por :

Resposta

A equação da reta tangente é .

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Seja . Determine .