Resolva as integrais usando a substituição de variável:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema pede. Precisamos resolver a integral
Usaremos o método de substituição de variável, que é uma técnica para simplificar integrais complexas. Para isso, vamos identificar qual parte da integral escolher como nossa nova variável.

Passo 2

Observamos que temos elevado ao quadrado na integral. Isso sugere que podemos escolher como nossa substituição, porque a derivada de está presente no denominador.

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de em relação a para encontrar . Sabemos que:
Então, podemos reescrever em termos de :

Passo 4

Vamos substituir e na integral original. Substituindo, temos:
Isso simplifica a integral para uma forma mais fácil de resolver.

Passo 5

Agora, integramos em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, substituímos de volta pela expressão original em termos de :

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Use integração por partes para resolver as integrais:
Nos problemas de 1 a 10, classifique as equações diferenciais dizendo se são lineares ou não lineares. Dê também a ordem de cada equação:
Uma caixa retangular aberta deve ser fabricada com uma folha de papelão de , recortando quadrados nos quatro cantos e depois dobrando a folha nas linhas determinadas pelos cortes. Existe alguma medida do corte que produza uma caixa com volume máximo?
Resolva as integrais usando a substituição de variável: