Uma caixa tem 8 bolas vermelhas e 4 pretas. Escolhe-se uma bola. Se é vermelha, devolve-se à caixa. Se é preta, a bola extraída é devolvida à caixa com mais 2 bolas pretas. Determinar a probabilidade de uma segunda bola extraída
(a) ser vermelha.
(b) ser preta.

Passo 1

No nosso exercício, temos uma caixa com 8 bolas vermelhas e 4 pretas. Vamos escolher uma bola e, dependendo da cor, faremos ações diferentes: se for vermelha, devolvemos à caixa; se for preta, devolvemos à caixa e adicionamos mais 2 bolas pretas. Nosso objetivo é determinar a probabilidade de que, na segunda extração, a bola escolhida seja vermelha e, na parte (b), preta.
Nesse problema, vamos utilizar conceitos de probabilidade condicional e regras de probabilidade total para considerar os diferentes cenários que ocorrem após a primeira extração e como eles afetam a composição da caixa na segunda extração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a probabilidade de cada resultado na primeira extração.
  • Probabilidade de tirar uma bola vermelha na primeira extração:
  • Probabilidade de tirar uma bola preta na primeira extração:

Passo 3

Agora, vamos analisar o que acontece em cada caso após a primeira extração:
  1. Se a primeira bola for vermelha: devolvemos à caixa, então a composição da caixa permanece a mesma para a segunda extração (8 vermelhas e 4 pretas).
  2. Se a primeira bola for preta: devolvemos à caixa e adicionamos mais 2 bolas pretas. Portanto, a caixa passa a ter 8 vermelhas e pretas na segunda extração.

Passo 4

Agora, vamos determinar a probabilidade de tirar uma bola vermelha ou preta na segunda extração em cada um desses cenários.
  • Se a primeira bola foi vermelha (com a caixa mantendo 8 vermelhas e 4 pretas):
    • Probabilidade de tirar vermelha na segunda extração:
    • Probabilidade de tirar preta na segunda extração:
  • Se a primeira bola foi preta (com a caixa tendo 8 vermelhas e 6 pretas):
    • Probabilidade de tirar vermelha na segunda extração:
    • Probabilidade de tirar preta na segunda extração:

Passo 5

Finalmente, para encontrar a probabilidade total de tirar uma bola vermelha ou preta na segunda extração, vamos usar a regra da probabilidade total, somando as probabilidades de cada cenário multiplicadas pela probabilidade de cada cenário ocorrer.
(a) Probabilidade de tirar uma bola vermelha na segunda extração:
(b) Probabilidade de tirar uma bola preta na segunda extração:

Resposta

(a) A probabilidade de tirar uma bola vermelha na segunda extração é .
(b) A probabilidade de tirar uma bola preta na segunda extração é .

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