Três dispostivos, A1, A2 e A3, que compõem um alarme, estão dispostos de tal forma que qualquer um deles funcionará independentemente quando algo estranho ocorrer. Se cada dispositivo tem probabilidade igual a 0,90 de funcionar efetivamente, determine a probabilidade de se ouvir o alarme quando necessário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre três dispositivos que fazem parte de um alarme: , e . Cada um desses dispositivos tem uma probabilidade de 0,90 de funcionar corretamente quando algo estranho acontece. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a probabilidade de realmente ouvir o alarme funcionando quando for necessário. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especialmente aqueles relacionados a eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que, para ouvir o alarme, pelo menos um dos dispositivos , ou precisa funcionar. Como os dispositivos funcionam de forma independente, podemos calcular a probabilidade de todos eles falharem e, então, subtrair esse valor de 1 para encontrar a probabilidade de pelo menos um funcionar.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de um único dispositivo falhar. Se a probabilidade de funcionar é 0,90, então a probabilidade de falhar é:
P(falha de um dispositivo) = 1 - P(funcionar) = 1 - 0,90 = 0,10

Passo 4

Agora, como os dispositivos são independentes, a probabilidade de todos os três falharem ao mesmo tempo é o produto das probabilidades de cada um falhar:
P(todos falham) = 0,10 times 0,10 times 0,10 = 0,001

Passo 5

Finalmente, para encontrar a probabilidade de pelo menos um dispositivo funcionar (e, portanto, o alarme ser ouvido), subtraímos a probabilidade de todos falharem de 1:
P(pelo menos um funciona) = 1 - P(todos falham) = 1 - 0,001 = 0,999

Resposta

A probabilidade de se ouvir o alarme quando necessário é de 0,999 ou 99,9%.

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