Mostre que, se A e B são independentes, tambem o serão A^c e B^c, A e B^c e A^c e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se os eventos e são independentes, então seus complementos e , e , e e também são independentes. Vamos usar conceitos de probabilidade básica, especialmente a definição de eventos independentes e propriedades dos complementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos P(A cap B) = P(A) cdot P(B) e são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo tempo é igual ao produto das probabilidades individuais deles:
Essa é a definição chave que vamos usar para provar as outras independências.

Passo 3

Vamos começar provando que A^c cap B^c = (A cup B)^c e P(A^c cap B^c) = 1 - P(A cup B) são independentes. Primeiro, precisamos encontrar P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) . Sabemos que:
P(A^c cap B^c) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A) cdot P(B)] = (1 - P(A)) cdot (1 - P(B)) = P(A^c) cdot P(B^c)
Mas para facilitar, podemos usar a seguinte propriedade da probabilidade:
E sabemos que:
Como e são independentes, . Substituindo:
Isso mostra que e são independentes.

Passo 4

Agora, vamos provar que P(A cap B^c) = P(A) cdot P(B^c) e P(A cap B^c) = P(A) - P(A cap B) são independentes. Queremos mostrar que:
P(A cap B^c) = P(A) - P(A) cdot P(B) = P(A) cdot (1 - P(B)) = P(A) cdot P(B^c)
Sabemos que:
Como e são independentes, . Então:
Logo, e também são independentes.

Passo 5

Por fim, vamos mostrar que P(A^c cap B) = P(A^c) cdot P(B) e P(A^c cap B) = P(B) - P(A cap B) são independentes. Precisamos provar que:
P(A^c cap B) = P(B) - P(A) cdot P(B) = (1 - P(A)) cdot P(B) = P(A^c) cdot P(B)
Similar ao passo anterior:
E, como antes, substituímos por :
Assim, e são independentes.

Resposta

Portanto, mostramos que se e são independentes, então e , e , e e também são independentes.

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