Mostre que, se
e
são independentes, tambem o serão
e
e
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se os eventos
e
são independentes, então seus complementos
e
,
e
, e
e
também são independentes. Vamos usar conceitos de probabilidade básica, especialmente a definição de eventos independentes e propriedades dos complementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos
e
são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo tempo é igual ao produto das probabilidades individuais deles:
Essa é a definição chave que vamos usar para provar as outras independências.
Passo 3
Vamos começar provando que
e
são independentes. Primeiro, precisamos encontrar
. Sabemos que:
Mas para facilitar, podemos usar a seguinte propriedade da probabilidade:
E sabemos que:
Como
e
são independentes,
. Substituindo:
Isso mostra que
e
são independentes.
Passo 4
Agora, vamos provar que
e
são independentes. Queremos mostrar que:
Sabemos que:
Como
e
são independentes,
. Então:
Logo,
e
também são independentes.
Passo 5
Por fim, vamos mostrar que
e
são independentes. Precisamos provar que:
Similar ao passo anterior:
E, como antes, substituímos
por
:
Assim,
e
são independentes.
Resposta
Portanto, mostramos que se
e
são independentes, então
e
,
e
, e
e
também são independentes.