Mostre que, se e são independentes, tambem o serão e e e e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se os eventos e são independentes, então seus complementos e , e , e e também são independentes. Vamos usar conceitos de probabilidade básica, especialmente a definição de eventos independentes e propriedades dos complementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos e são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo tempo é igual ao produto das probabilidades individuais deles:
Essa é a definição chave que vamos usar para provar as outras independências.

Passo 3

Vamos começar provando que e são independentes. Primeiro, precisamos encontrar . Sabemos que:
Mas para facilitar, podemos usar a seguinte propriedade da probabilidade:
E sabemos que:
Como e são independentes, . Substituindo:
Isso mostra que e são independentes.

Passo 4

Agora, vamos provar que e são independentes. Queremos mostrar que:
Sabemos que:
Como e são independentes, . Então:
Logo, e também são independentes.

Passo 5

Por fim, vamos mostrar que e são independentes. Precisamos provar que:
Similar ao passo anterior:
E, como antes, substituímos por :
Assim, e são independentes.

Resposta

Portanto, mostramos que se e são independentes, então e , e , e e também são independentes.

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(a) .
(b) .
© .
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(b) ser preta.