Mostre que, se
e
são independentes, tambem o serão
e
e
e
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que, se os eventos
e
são independentes, então seus complementos
e
,
e
, e
e
também são independentes. Vamos usar conceitos de probabilidade básica, especialmente a definição de eventos independentes e propriedades dos complementos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa dois eventos serem independentes. Dois eventos
e
são independentes se a probabilidade de ambos ocorrerem ao mesmo tempo é igual ao produto das probabilidades individuais deles:
Essa é a definição chave que vamos usar para provar as outras independências.
Passo 3
Vamos começar provando que
e
são independentes. Primeiro, precisamos encontrar
. Sabemos que:
Mas para facilitar, podemos usar a seguinte propriedade da probabilidade:
E sabemos que:
Como
e
são independentes,
. Substituindo:
Isso mostra que
e
são independentes.
Passo 4
Agora, vamos provar que
e
são independentes. Queremos mostrar que:
Sabemos que:
Como
e
são independentes,
. Então:
Logo,
e
também são independentes.
Passo 5
Por fim, vamos mostrar que
e
são independentes. Precisamos provar que:
Similar ao passo anterior:
E, como antes, substituímos
por
:
Assim,
e
são independentes.
Resposta
Portanto, mostramos que se
e
são independentes, então
e
,
e
, e
e
também são independentes.
Exercícios relacionados
Seja
o número de caras, e
o número de coroas quando são lançadas 2 moedas. Calcular média e variância de
.
Sejam
e
eventos sobre o mesmo espaço amostral
tais que
,
e
. Calcule:
(a) .
(b) .
© .
(a)
(b)
©
Temos 5 urnas cada uma com 6 bolas. Duas destas urnas (tipo
) têm 3 bolas brancas, duas outras (tipo
) têm 2 bolas brancas e a última urna (tipo
) tem 6 bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual é a probabilidade da bola retirada ser uma bola branca?
Uma caixa tem 8 bolas vermelhas e 4 pretas. Escolhe-se uma bola. Se é vermelha, devolve-se à caixa. Se é preta, a bola extraída é devolvida à caixa com mais 2 bolas pretas. Determinar a probabilidade de uma segunda bola extraída
(a) ser vermelha.
(b) ser preta.
(a) ser vermelha.
(b) ser preta.