Uma caixa tem 3 moedas: uma não viciada, outra com 2 caras e uma terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é 15. Uma moeda é selecionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a terceira modea tenha sido a selecionada?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma caixa com 3 moedas diferentes: uma que é justa (probabilidade de cara é 50%), outra que tem duas caras (sempre dá cara), e uma terceira que é viciada, onde a probabilidade de dar cara é 15. Aí, a gente pega uma moeda aleatoriamente e dá cara. A pergunta é: qual a probabilidade de que a moeda que foi tirada foi a viciada?
Aqui vamos usar probabilidade condicional e a Teorema de Bayes pra resolver isso. Precisamos saber como calcular a probabilidade de um evento, dado que outro evento já aconteceu.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as moedas:
  • Moeda 1: Justa, P(Cara|Moeda 1) = 12
  • Moeda 2: Duas caras, P(Cara|Moeda 2) = 1
  • Moeda 3: Viciada, P(Cara|Moeda 3) = 15
Cada moeda tem a mesma chance de ser escolhida, ou seja, P(Moeda i) = 13 para i=1,2,3.

Passo 3

Queremos encontrar P(Moeda 3|Cara), que é a probabilidade de ter escolhido a Moeda 3 dado que saiu cara.
Segundo a Teorema de Bayes:
P(Moeda 3|Cara) = P(Cara|Moeda 3) cdot P(Moeda 3)P(Cara)
Agora, vamos calcular cada parte:
  1. Numerador: P(Cara|Moeda 3) cdot P(Moeda 3) = 15 cdot 13 = 115
  2. Denominador: P(Cara) é a probabilidade de sair cara em qualquer uma das moedas. Podemos calcular assim:
P(Cara) = P(Cara|Moeda 1) cdot P(Moeda 1) + P(Cara|Moeda 2) cdot P(Moeda 2) + P(Cara|Moeda 3) cdot P(Moeda 3)
Substituindo:
P(Cara) = 12 cdot 13 + 1 cdot 13 + 15 cdot 13 = 16 + 13 + 115 = 530 + 1030 + 230 = 1730

Passo 4

Agora, substituímos no Teorema de Bayes:
P(Moeda 3|Cara) = 1151730 = 115 times 3017 = 217

Resposta

A probabilidade de que a moeda selecionada foi a terceira (viciada) é 217.

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