Uma caixa tem 3 moedas: uma não viciada, outra com 2 caras e uma terceira viciada, de modo que a probabilidade de ocorrer cara nesta moeda é
. Uma moeda é selecionada ao acaso na caixa. Saiu cara. Qual a probabilidade de que a terceira modea tenha sido a selecionada?
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma caixa com 3 moedas diferentes: uma que é justa (probabilidade de cara é 50%), outra que tem duas caras (sempre dá cara), e uma terceira que é viciada, onde a probabilidade de dar cara é
. Aí, a gente pega uma moeda aleatoriamente e dá cara. A pergunta é: qual a probabilidade de que a moeda que foi tirada foi a viciada?
Aqui vamos usar probabilidade condicional e a Teorema de Bayes pra resolver isso. Precisamos saber como calcular a probabilidade de um evento, dado que outro evento já aconteceu.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as moedas:
- Moeda 1: Justa,
- Moeda 2: Duas caras,
- Moeda 3: Viciada,
Cada moeda tem a mesma chance de ser escolhida, ou seja,
para
.
Passo 3
Queremos encontrar
, que é a probabilidade de ter escolhido a Moeda 3 dado que saiu cara.
Segundo a Teorema de Bayes:
Agora, vamos calcular cada parte:
-
Numerador:
-
Denominador:
é a probabilidade de sair cara em qualquer uma das moedas. Podemos calcular assim:
Substituindo:
Passo 4
Agora, substituímos no Teorema de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que a moeda selecionada foi a terceira (viciada) é
.