Um certo programa pode ser usado como uma entre duas subrotinas A e B, dependendo do problema. A experiência tem mostrado que a subrotina A e usada 40 % das vezes e B é usada 60 % das vezes. Se A é usada, existe 75 % de chance de que o programa chegue a um resultado dentro do limite de tempo. Se B é usada, a chance é de 50 %. Se o programa foi realizado dentro do limite de tempo, qual a probabilidade de que subrotina A tenha sido a escolhida?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. Temos um programa que pode usar duas subrotinas, a A e a B. A A é usada 40% das vezes e a B 60%. Sabemos também a probabilidade de o programa terminar dentro do tempo se usar a A (75%) e se usar a B (50%). A pergunta quer saber: se o programa terminou no tempo, qual a chance de que ele usou a subrotina A?
Para resolver isso, vamos precisar usar um conceito de probabilidade chamado Teorema de Bayes. Esse teorema ajuda a atualizar nossas probabilidades com base em novas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as probabilidades que já temos:
  • P(A): Probabilidade de usar a subrotina A = 40% = 0,4
  • P(B): Probabilidade de usar a subrotina B = 60% = 0,6
  • P(T|A): Probabilidade de terminar no tempo dado que usou A = 75% = 0,75
  • P(T|B): Probabilidade de terminar no tempo dado que usou B = 50% = 0,5

Passo 3

Agora, precisamos calcular a probabilidade total de terminar no tempo, ou seja, a chance do programa terminar no tempo, independente de ter usado A ou B. Isso a gente faz usando a Lei das Probabilidades Totais:
P(T) = P(T|A) times P(A) + P(T|B) times P(B)
Substituindo os valores:
P(T) = 0,75 times 0,4 + 0,5 times 0,6 = 0,3 + 0,3 = 0,6
Então, a probabilidade de o programa terminar no tempo é de 60%.

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar a probabilidade de que foi a subrotina A que foi usada, dado que o programa terminou no tempo. A fórmula do Teorema de Bayes é:
P(A|T) = P(T|A) times P(A)P(T)
Já sabemos todos esses valores, então vamos substituir:
P(A|T) = 0,75 times 0,40,6 = 0,30,6 = 0,5

Resposta

A probabilidade de que a subrotina A tenha sido a escolhida, dado que o programa terminou dentro do limite de tempo, é de 50%.

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