Um dado A tem 3 faces brancas e 3 pretas; um dado B possui 2 faces brancas, 2 pretas e 2 vermelhas; um dado C possuil 2 faces brancas e 4 pretas, e um dado D, 3 brancas e 3 pretas. Lancam-se os quatro dados. Qual a probabilidade de que:
(a.) pelo menos uma face seja branca?
(b.) três sejam pretas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre lançar quatro dados diferentes, cada um com várias cores nas faces. Precisamos calcular probabilidades específicas: a) de que pelo menos uma face seja branca e b) de que exatamente três faces sejam pretas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a probabilidade de eventos complementares e a probabilidade de composição de eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição das cores em cada dado:
  • Dado A: 3 brancas e 3 pretas
  • Dado B: 2 brancas, 2 pretas e 2 vermelhas
  • Dado C: 2 brancas e 4 pretas
  • Dado D: 3 brancas e 3 pretas
Cada dado tem 6 faces, então a probabilidade de cada cor em cada dado pode ser calculada dividindo o número de faces daquela cor por 6.

Passo 3

Vamos calcular a probabilidade de cada dado NÃO mostrar uma face branca:
  • Dado A: 3 pretas → ã
  • Dado B: 2 pretas + 2 vermelhas → ã
  • Dado C: 4 pretas → ã
  • Dado D: 3 pretas → ã

Passo 4

Para encontrar a probabilidade de nenhum dos dados mostrar uma face branca, multiplicamos as probabilidades de cada dado não mostrar branco:
P(nenhuma branca) = 12 times 23 times 23 times 12 = 12 times 23 = 13
13 times 23 = 29
29 times 12 = 19

Passo 5

A probabilidade de pelo menos uma face ser branca é o complemento da probabilidade de nenhuma ser branca:
P(pelo menos uma branca) = 1 - P(nenhuma branca) = 1 - 19 = 89

Passo 6

Agora, vamos para a parte b). Queremos a probabilidade de que exatamente três dos dados mostrem uma face preta.
Primeiro, identificamos a probabilidade de cada dado mostrar preto:
  • Dado A:
  • Dado B:
  • Dado C:
  • Dado D:

Passo 7

Para exatamente três pretos, temos quatro casos, pois qualquer um dos quatro dados pode ser o que NÃO mostra preto. Vamos calcular a probabilidade de cada caso e somar:
  1. Dado A não preto:
(1 - 12) times 13 times 23 times 12 = 12 times 13 times 23 times 12 = 118
  1. Dado B não preto:
12 times (1 - 13) times 23 times 12 = 12 times 23 times 23 times 12 = 218
  1. Dado C não preto:
12 times 13 times (1 - 23) times 12 = 12 times 13 times 13 times 12 = 136
  1. Dado D não preto:
12 times 13 times 23 times (1 - 12) = 12 times 13 times 23 times 12 = 118

Passo 8

Somando as probabilidades dos quatro casos:
118 + 218 + 136 + 118 = 436 + 436 + 136 + 436 = 1336

Resposta

(a) A probabilidade de que pelo menos uma face seja branca é .
(b) A probabilidade de que exatamente três faces sejam pretas é .

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