Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z.
Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa retangular sem tampa com arestas medindo , e . O objetivo é encontrar as medidas dessas arestas de forma que a área total da caixa seja mínima, sabendo que o volume dela é igual a 32. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização, onde buscamos encontrar o mínimo ou máximo de uma função. Precisaremos das fórmulas para o volume e para a área superficial da caixa, além de saber como usar derivadas para encontrar valores que minimizam a área.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar as fórmulas que vamos precisar. O volume V = x times y times z da caixa é dado por:
S = x times y + 2 times x times z + 2 times y times z
E a área superficial da caixa sem tampa é a soma da área da base mais as áreas das quatro laterais. Como não há tampa, a fórmula fica:
Isso porque:
  • é a área da base,
  • são as áreas das duas laterais com dimensões ,
  • são as áreas das duas laterais com dimensões .

Passo 3

Sabemos que o volume x times y times z = 32 . Vamos usar essa informação para relacionar as variáveis. A equação do volume fica:
z = 32x times y
Nossa ideia é expressar uma das variáveis em termos das outras para reduzir a quantidade de incógnitas. Por exemplo, podemos isolar :

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão de S = x times y + 2 times x times ( 32x times y ) + 2 times y times ( 32x times y ) na fórmula da área superficial S = x times y + 64y + 64x :
Simplificando:
Agora, nossa função de área está em termos de e .

Passo 5

Para facilitar a resolução, vamos supor que a caixa tenha uma base quadrada, ou seja, x times x times z = 32 Rightarrow z = 32x^2 . Isso faz sentido intuitivamente porque caixas com bases quadradas costumam ter áreas menores para um dado volume. Assim, com S = x^2 + 64x + 64x = x^2 + 128x , a equação do volume fica:
E a área superficial fica:

Passo 6

Agora, temos a função de área S'(x) = 2x - 128x^2 . Vamos encontrar o valor de 2x - 128x^2 = 0 que minimiza essa função. Para isso, usamos derivadas.
Primeiro, calculamos a derivada de 2x = 128x^2 Rightarrow 2x^3 = 128 Rightarrow x^3 = 64 Rightarrow x = raiz[3]64 = 4 em relação a :
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para :

Passo 7

Com z = 32x times y = 324 times 4 = 3216 = 2 , como x = 4, y = 4, z = 2 , também temos . Agora, encontramos usando a equação do volume:
Portanto, as medidas das arestas que minimizam a área superficial são:

Resposta

As arestas da caixa com área mínima e volume igual a 32 são:
x = 4, y = 4, z = 2

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