Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
.
Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.
Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa retangular sem tampa com arestas medindo
,
e
. O objetivo é encontrar as medidas dessas arestas de forma que a área total da caixa seja mínima, sabendo que o volume dela é igual a 32. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização, onde buscamos encontrar o mínimo ou máximo de uma função. Precisaremos das fórmulas para o volume e para a área superficial da caixa, além de saber como usar derivadas para encontrar valores que minimizam a área.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar as fórmulas que vamos precisar. O volume
da caixa é dado por:
E a área superficial
da caixa sem tampa é a soma da área da base mais as áreas das quatro laterais. Como não há tampa, a fórmula fica:
Isso porque:
-
é a área da base, -
são as áreas das duas laterais com dimensões , -
são as áreas das duas laterais com dimensões .
Passo 3
Sabemos que o volume
. Vamos usar essa informação para relacionar as variáveis. A equação do volume fica:
Nossa ideia é expressar uma das variáveis em termos das outras para reduzir a quantidade de incógnitas. Por exemplo, podemos isolar
:
Passo 4
Agora, vamos substituir essa expressão de
na fórmula da área superficial
:
Simplificando:
Agora, nossa função de área
está em termos de
e
.
Passo 5
Para facilitar a resolução, vamos supor que a caixa tenha uma base quadrada, ou seja,
. Isso faz sentido intuitivamente porque caixas com bases quadradas costumam ter áreas menores para um dado volume. Assim, com
, a equação do volume fica:
E a área superficial fica:
Passo 6
Agora, temos a função de área
. Vamos encontrar o valor de
que minimiza essa função. Para isso, usamos derivadas.
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Para encontrar o mínimo, igualamos a derivada a zero:
Resolvendo para
:
Passo 7
Com
, como
, também temos
. Agora, encontramos
usando a equação do volume:
Portanto, as medidas das arestas que minimizam a área superficial são:
Resposta
As arestas da caixa com área mínima e volume igual a 32 são: