Uma urna contém 6 bolas numeradas de 1 a 6 . Uma pessoa paga R e retira aleatoriamente uma bola. Se retirar a bola 6 recebe R e retira a<=atoriamente uma bola Se retirar a bola 6 recebe R ; se retirar as bolas ; se retirar as bolas ou 5 nada recebe; e se retirar a bola 1 irá escolher outra bola, sem repor a primeira, e se esta segunda for a bola 6 , recebe ou 5 nada recebe; e se retirar a bola 1 irá escolher outra bola, sem repor a primeira, e se esta segunda for a bola 6 , recebe ; caso contrário, nada recebe. Calcular quanto a pessoa que está jogando espera lucrar.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma urna com 6 bolas numeradas de 1 a 6. Uma pessoa paga R$600,00 para participar do jogo. Dependendo da bola que ela tirar, ela pode receber diferentes valores ou nada. Nosso objetivo aqui é calcular quanto essa pessoa espera lucrar nessa jogada, ou seja, qual é o valor esperado do lucro.
Para resolver isso, vamos precisar entender de probabilidade e de valor esperado. A probabilidade nos ajuda a saber a chance de cada resultado acontecer, e o valor esperado nos mostra o quanto, em média, podemos esperar ganhar ou perder em uma situação de risco como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todos os possíveis resultados do jogo e o que cada um representa em termos de ganho ou perda para a pessoa.
  1. Retirar a bola 6: A pessoa recebe R$1.500,00.
  2. Retirar as bolas 2, 3, 4 ou 5: A pessoa não recebe nada.
  3. Retirar a bola 1: A pessoa tira uma segunda bola sem repor a primeira.
    • Se a segunda bola for a 6, ela recebe R$3.600,00.
    • Se a segunda bola não for a 6, ela não recebe nada.

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses resultados acontecer.
  • Probabilidade de retirar a bola 6:
    Há 1 bola 6 em 6 bolas no total.
    P(6) = 16
  • Probabilidade de retirar as bolas 2, 3, 4 ou 5:
    São 4 bolas que não dão nenhum ganho.
    P(2,3,4,5) = 46 = 23
  • Probabilidade de retirar a bola 1:
    Há 1 bola 1 em 6.
    P(1) = 16

Passo 4

Para o caso em que a pessoa retira a bola 1, precisamos considerar a segunda retirada:
  • Após retirar a bola 1, restam 5 bolas na urna.
  • Probabilidade de a segunda bola ser a 6: P(6|1) = 15
  • Probabilidade de a segunda bola não ser a 6: P(não 6|1) = 45 ã

Passo 5

Agora, vamos associar cada resultado a um ganho ou perda:
  1. Retirar a bola 6:
    • Ganho: R$1.500,00
    • Custo: R$600,00
    • Lucro líquido: R$1.500,00 - R$600,00 = R$900,00
  2. Retirar as bolas 2, 3, 4 ou 5:
    • Ganho: R$0,00
    • Custo: R$600,00
    • Lucro líquido: R$0,00 - R$600,00 = -R$600,00
  3. Retirar a bola 1 e depois a bola 6:
    • Ganho: R$3.600,00
    • Custo: R$600,00
    • Lucro líquido: R$3.600,00 - R$600,00 = R$3.000,00
  4. Retirar a bola 1 e depois uma bola que não seja a 6:
    • Ganho: R$0,00
    • Custo: R$600,00
    • Lucro líquido: R$0,00 - R$600,00 = -R$600,00

Passo 6

Agora, vamos calcular o valor esperado do lucro. Isso é feito multiplicando cada possível lucro pelo respectivo probabilidade e somando todos esses produtos.
Valor Esperado = (P(6) times Lucro6) + (P(2,3,4,5) times Lucro2,3,4,5) + (P(1) times [P(6|1) times Lucro1,6 + P(não 6|1) times Lucro1,não 6]) ãã
Substituindo os valores:
Valor Esperado &= (16 times 900) + (23 times (-600)) + (16 times [15 times 3000 + 45 times (-600)]) &= 150 + (-400) + (16 times [600 - 480]) &= 150 - 400 + (16 times 120) &= -250 + 20 &= -230

Resposta

A pessoa que está jogando espera lucrar -R$230,00. Isso significa que, em média, ela perderá R$230,00 por jogada.

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