Dada a tabela:
|c|c|c|c|c|c|c| hline $X$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 hline $P(X)$ & 0 & $P^2$ & $P^2$ & $P$ & $P$ & $P^2$ hline 0 1 2 3 4 5
P(X >= 4) 0 P(X<3)
b) Calcule e ;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma tabela de distribuição de probabilidade para a variável aleatória com valores de 0 a 5. O conteúdo da matéria envolve Probabilidade e vamos precisar usar conhecimentos de distribuição de probabilidades e resolução de equações quadráticas para encontrar o valor de que nos permitirá calcular as probabilidades solicitadas: e .

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a soma de todas as probabilidades na tabela seja igual a 1, já que a soma das probabilidades de todos os possíveis resultados de uma variável aleatória deve ser 1. Vamos somar todas as probabilidades fornecidas:
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0 + P^2 + P^2 + P + P + P^2

Passo 3

Simplificando a soma das probabilidades:
0 + P^2 + P^2 + P + P + P^2 = 3P^2 + 2P
Sabemos que essa soma deve ser igual a 1:
3P^2 + 2P = 1
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar o valor de .

Passo 4

Reorganizando a equação para a forma padrão 3P^2 + 2P - 1 = 0 :
P = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Vamos usar a fórmula quadrática para resolver para P = -2 pm raiz(2)^2 - 4 times 3 times (-1)2 times 3 = -2 pm raiz4 + 126 = -2 pm raiz166 :
P = -2 pm 46
Onde P = -2 + 46 = 26 = 13 , P = -2 - 46 = -66 = -1 e P = 13 . Substituindo esses valores:
Isso nos dá duas soluções:
Como probabilidades não podem ser negativas, descartamos e temos:

Passo 5

Agora que encontramos P(X >= 4) = P(X=4) + P(X=5) = P + P^2 = 13 + ( 13 )^2 = 13 + 19 = 39 + 19 = 49 , podemos calcular as probabilidades solicitadas.
Primeiro, P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 0 + P^2 + P^2 = 2P^2 = 2 times ( 13 )^2 = 2 times 19 = 29 :
Segundo, :

Resposta

e .

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