Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo x, y e z. Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa retangular sem tampa com arestas de comprimento , e . A missão é descobrir quais devem ser esses comprimentos para a área total da caixa ser a menor possível, sabendo que o volume dela é 32 unidades cúbicas. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria e otimização, ou seja, encontrar o mínimo de uma função com uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas condições que temos:
  1. Volume: O volume da caixa é dado por x times y times z = 32 . Sabemos que A = xy + 2xz + 2yz , então:
  2. Área Total sem tampa: A área da caixa sem tampa é a soma das áreas das faces laterais e da base. Então:
Nosso objetivo é minimizar sabendo que .

Passo 3

Vamos usar a condição do volume para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para z = 32x times y :
A = xy + 2x(32x times y) + 2y(32x times y)
Agora, substituímos A = xy + 64y + 64x na função da área:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos a função da área partial Apartial x = y - 64x^2 = 0 em termos de y = 64x^2 e partial Apartial y = x - 64y^2 = 0 . Para encontrar o mínimo, vamos derivar x = 64y^2 em relação a e e igualar a zero.
Primeiro, derivamos em relação a :
Isso nos dá:
Agora, derivamos em relação a :
E isso nos dá:

Passo 5

Agora temos duas equações:
y = 64x^2
x = 64y^2
Vamos substituir a primeira na segunda:
x = 64(64x^2)^2 = 644096x^4 = 64x^44096 = x^464
Multiplicando ambos os lados por 64:
64x = x^4
Dividindo ambos os lados por 64 = x^3 (assumindo que x = raiz[3]64 = 4 ):
Então:

Passo 6

Agora que temos y = 644^2 = 6416 = 4 , podemos encontrar z = 324 times 4 = 3216 = 2 usando a equação :
E encontrando usando :

Resposta

As medidas das arestas da caixa com área mínima e volume igual a 32 são:
x = 4, y = 4, z = 2

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