Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo . Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa retangular sem tampa com arestas de comprimento , e . A missão é descobrir quais devem ser esses comprimentos para a área total da caixa ser a menor possível, sabendo que o volume dela é 32 unidades cúbicas. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria e otimização, ou seja, encontrar o mínimo de uma função com uma restrição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as duas condições que temos:
  1. Volume: O volume da caixa é dado por . Sabemos que , então:
  2. Área Total sem tampa: A área da caixa sem tampa é a soma das áreas das faces laterais e da base. Então:
Nosso objetivo é minimizar sabendo que .

Passo 3

Vamos usar a condição do volume para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para :
Agora, substituímos na função da área:
Simplificando:

Passo 4

Agora, temos a função da área em termos de e . Para encontrar o mínimo, vamos derivar em relação a e e igualar a zero.
Primeiro, derivamos em relação a :
Isso nos dá:
Agora, derivamos em relação a :
E isso nos dá:

Passo 5

Agora temos duas equações:
Vamos substituir a primeira na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 64:
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Então:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar usando a equação :
E encontrando usando :

Resposta

As medidas das arestas da caixa com área mínima e volume igual a 32 são:

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Suponha que a densidade de seja dada por: , com e . Determine as funções densidades condicionais e .
Suponha que as variáveis aleatórias e tenham função densidade de probabilidade conjunta .
Calcule .
Prove que, se e são positivos, então
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo . Exprima a área e o volume da caixa em função de e .