Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma caixa retangular sem tampa com arestas de comprimento
,
e
. A missão é descobrir quais devem ser esses comprimentos para a área total da caixa ser a menor possível, sabendo que o volume dela é 32 unidades cúbicas. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria e otimização, ou seja, encontrar o mínimo de uma função com uma restrição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas condições que temos:
- Volume: O volume da caixa é dado por
. Sabemos que , então: - Área Total sem tampa: A área da caixa sem tampa é a soma das áreas das faces laterais e da base. Então:
Nosso objetivo é minimizar
sabendo que
.
Passo 3
Vamos usar a condição do volume para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para
:
Agora, substituímos
na função da área:
Simplificando:
Passo 4
Agora, temos a função da área
em termos de
e
. Para encontrar o mínimo, vamos derivar
em relação a
e
e igualar a zero.
Primeiro, derivamos em relação a
:
Isso nos dá:
Agora, derivamos em relação a
:
E isso nos dá:
Passo 5
Agora temos duas equações:
Vamos substituir a primeira na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 64:
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
):
Então:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a equação
:
E encontrando
usando
:
Resposta
As medidas das arestas da caixa com área mínima e volume igual a 32 são:
Exercícios relacionados
Suponha que a densidade de
seja dada por:
, com
e
. Determine as funções densidades condicionais
e
.
Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham função densidade de probabilidade conjunta
.
Calcule .
Calcule
Prove que, se
e
são positivos, então
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Exprima a área e o volume da caixa em função de
e
.