Prove que, se e são positivos, então

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte desigualdade para provar:
Aqui, , e são números positivos. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é uma ferramenta poderosa em álgebra para comparar somas de produtos. Vamos precisar entender como aplicar essa desigualdade para chegar à nossa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ela diz que para quaisquer números reais positivos, temos:
Mas, no nosso caso, queremos uma forma que nos ajude a relacionar as somas de frações com a soma simples de , e . Para isso, vamos manipular a desigualdade de Cauchy-Schwarz de uma maneira que se encaixe no que precisamos.

Passo 3

Vamos aplicar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz com os seguintes valores:
  • , ,
  • , ,
Substituindo esses valores na desigualdade, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Então, a desigualdade fica:

Passo 4

Agora, queremos isolar a soma das frações . Para isso, vamos dividir ambos os lados da desigualdade por :
Que é exatamente o que queríamos provar!

Resposta

Portanto, mostramos que, para números positivos , e , a desigualdade
é verdadeira.

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