Prove que, se x, y e z são positivos, então
1x+1y+1z >= 9x+y+z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte desigualdade para provar:
1x+1y+1z >= 9x+y+z
Aqui, x, y e z são números positivos. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é uma ferramenta poderosa em álgebra para comparar somas de produtos. Vamos precisar entender como aplicar essa desigualdade para chegar à nossa resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ela diz que para quaisquer números reais positivos, temos:
(a1b1 + a2b2 + a3b3)^2 <= (a1^2 + a2^2 + a3^2)(b1^2 + b2^2 + b3^2)
Mas, no nosso caso, queremos uma forma que nos ajude a relacionar as somas de frações com a soma simples de x, y e z. Para isso, vamos manipular a desigualdade de Cauchy-Schwarz de uma maneira que se encaixe no que precisamos.

Passo 3

Vamos aplicar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz com os seguintes valores:
  • a1 = raiz1x, a2 = raiz1y, a3 = raiz1z
  • b1 = raizx, b2 = raizy, b3 = raizz
Substituindo esses valores na desigualdade, temos:
( raiz1x cdot raizx + raiz1y cdot raizy + raiz1z cdot raizz )^2 <= ( 1x + 1y + 1z )(x + y + z)
Simplificando o lado esquerdo:
(1 + 1 + 1)^2 = 9
Então, a desigualdade fica:
9 <= ( 1x + 1y + 1z )(x + y + z)

Passo 4

Agora, queremos isolar a soma das frações 1x + 1y + 1z. Para isso, vamos dividir ambos os lados da desigualdade por (x + y + z):
9x + y + z <= 1x + 1y + 1z
Que é exatamente o que queríamos provar!

Resposta

Portanto, mostramos que, para números positivos x, y e z, a desigualdade
1x+1y+1z >= 9x+y+z
é verdadeira.

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