Prove que, se
e
são positivos, então
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte desigualdade para provar:
Aqui,
,
e
são números positivos. O conteúdo que vamos usar para resolver isso é a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, que é uma ferramenta poderosa em álgebra para comparar somas de produtos. Vamos precisar entender como aplicar essa desigualdade para chegar à nossa resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ela diz que para quaisquer números reais positivos, temos:
Mas, no nosso caso, queremos uma forma que nos ajude a relacionar as somas de frações com a soma simples de
,
e
. Para isso, vamos manipular a desigualdade de Cauchy-Schwarz de uma maneira que se encaixe no que precisamos.
Passo 3
Vamos aplicar a Desigualdade de Cauchy-Schwarz com os seguintes valores:
-
, , -
, ,
Substituindo esses valores na desigualdade, temos:
Simplificando o lado esquerdo:
Então, a desigualdade fica:
Passo 4
Agora, queremos isolar a soma das frações
. Para isso, vamos dividir ambos os lados da desigualdade por
:
Que é exatamente o que queríamos provar!
Resposta
Portanto, mostramos que, para números positivos
,
e
, a desigualdade
é verdadeira.