Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo . Exprima a área e o volume da caixa em função de e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma caixa retangular sem tampa, com arestas medindo , e . A gente precisa descobrir duas coisas: a área total da caixa e o volume dela, tudo em função dessas medidas ( , , ). Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre áreas de superfícies e volume de sólidos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume da caixa. O volume de uma caixa retangular (ou paralelepípedo) é bem simples: você multiplica a largura, o comprimento e a altura. Então, usando as arestas , e , a fórmula fica assim:
Isso significa que o volume é o produto dessas três medidas.

Passo 3

Agora, vamos para a área total da caixa sem tampa. A área total é a soma das áreas de todas as faces da caixa. Como a caixa não tem tampa, vamos considerar:
  1. O fundo da caixa: esse é um retângulo com lados e , então a área é:
  2. As duas laterais maiores: cada uma tem lados e , então a área de cada uma é . Como são duas, multiplicamos por 2:
  3. As duas laterais menores: cada uma tem lados e , então a área de cada uma é . Como são duas, multiplicamos por 2:

Passo 4

Agora, somamos todas essas áreas para obter a área total da caixa:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A área da caixa é e o volume é .

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Prove que, se e são positivos, então
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo . Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo . Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .
Qual o valor mínimo de positivo?