Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Exprima a área e o volume da caixa em função de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma caixa retangular sem tampa, com arestas medindo
,
e
. A gente precisa descobrir duas coisas: a área total da caixa e o volume dela, tudo em função dessas medidas (
,
,
). Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre áreas de superfícies e volume de sólidos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume da caixa. O volume de uma caixa retangular (ou paralelepípedo) é bem simples: você multiplica a largura, o comprimento e a altura. Então, usando as arestas
,
e
, a fórmula fica assim:
Isso significa que o volume é o produto dessas três medidas.
Passo 3
Agora, vamos para a área total da caixa sem tampa. A área total é a soma das áreas de todas as faces da caixa. Como a caixa não tem tampa, vamos considerar:
-
O fundo da caixa: esse é um retângulo com lados
e , então a área é: -
As duas laterais maiores: cada uma tem lados
e , então a área de cada uma é . Como são duas, multiplicamos por 2: -
As duas laterais menores: cada uma tem lados
e , então a área de cada uma é . Como são duas, multiplicamos por 2:
Passo 4
Agora, somamos todas essas áreas para obter a área total da caixa:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A área da caixa é
e o volume é
.
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Prove que, se
e
são positivos, então
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Use a desigualdade das médias para mostrar que, se o volume da caixa é igual a 32 , então sua área é maior ou igual a 48 .
Qual o valor mínimo de
positivo?