Suponha que a densidade de
seja dada por:
, com
e
. Determine as funções densidades condicionais
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício nos dá a densidade conjunta de duas variáveis aleatórias,
e
, que é
para
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar as funções densidades condicionais
e
. Basicamente, queremos saber como
se comporta dado um valor específico de
, e vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de probabilidade condicional e entender como trabalhar com densidades conjuntas e marginais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a densidade marginal de
, chamada
. A densidade marginal é obtida integrando a densidade conjunta em relação a
. Matematicamente, isso fica:
Vamos resolver essa integral:
Então, a densidade marginal de
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a densidade condicional
. A fórmula para a densidade condicional é:
Substituindo os valores que já encontramos:
Então, a densidade condicional de
dado
é
.
Passo 4
De forma similar, vamos encontrar a densidade marginal de
, chamada
. Integramos a densidade conjunta em relação a
:
Resolvendo a integral:
Então, a densidade marginal de
é
.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a densidade condicional
usando a mesma fórmula:
Substituindo os valores encontrados:
Então, a densidade condicional de
dado
é
.
Resposta
As funções densidades condicionais são:
e
Exercícios relacionados
Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham função densidade de probabilidade conjunta
.
Calcule .
Calcule
Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham função densidade de probabilidade conjunta
.
Calcule .
Calcule
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.
Prove que, se
e
são positivos, então