Suponha que a densidade de seja dada por: , com e . Determine as funções densidades condicionais e .

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos dá a densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e , que é para e . Nosso objetivo aqui é encontrar as funções densidades condicionais e . Basicamente, queremos saber como se comporta dado um valor específico de , e vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de probabilidade condicional e entender como trabalhar com densidades conjuntas e marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade marginal de , chamada . A densidade marginal é obtida integrando a densidade conjunta em relação a . Matematicamente, isso fica:
Vamos resolver essa integral:
Então, a densidade marginal de é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a densidade condicional . A fórmula para a densidade condicional é:
Substituindo os valores que já encontramos:
Então, a densidade condicional de dado é .

Passo 4

De forma similar, vamos encontrar a densidade marginal de , chamada . Integramos a densidade conjunta em relação a :
Resolvendo a integral:
Então, a densidade marginal de é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a densidade condicional usando a mesma fórmula:
Substituindo os valores encontrados:
Então, a densidade condicional de dado é .

Resposta

As funções densidades condicionais são:
e

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