Suponha que a densidade de (X, Y) seja dada por: f(x, y)=6(1-x-y), com 0 e 0. Determine as funções densidades condicionais fX mid Y e fY mid X.

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício nos dá a densidade conjunta de duas variáveis aleatórias, e , que é para e . Nosso objetivo aqui é encontrar as funções densidades condicionais e . Basicamente, queremos saber como se comporta dado um valor específico de , e vice-versa. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas fórmulas de probabilidade condicional e entender como trabalhar com densidades conjuntas e marginais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a densidade marginal de fY(y) = integralx=0^1 - y f(x, y) , dx = integral0^1 - y 6(1 - x - y) , dx , chamada fY(y) = 6 integral0^1 - y (1 - x - y) , dx . A densidade marginal é obtida integrando a densidade conjunta em relação a = 6 [ (1 - y)x - x^22 ]0^1 - y . Matematicamente, isso fica:
= 6 [ (1 - y)(1 - y) - (1 - y)^22 ]
Vamos resolver essa integral:
= 6 [ (1 - y)^22 ] = 3(1 - y)^2
Então, a densidade marginal de é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a densidade condicional fX mid Y(x mid y) = f(x, y)fY(y) . A fórmula para a densidade condicional é:
fX mid Y(x mid y) = 6(1 - x - y)3(1 - y)^2 = 2(1 - x - y)(1 - y)^2
Substituindo os valores que já encontramos:
Então, a densidade condicional de dado é .

Passo 4

De forma similar, vamos encontrar a densidade marginal de fX(x) = integraly=0^1 - x f(x, y) , dy = integral0^1 - x 6(1 - x - y) , dy , chamada fX(x) = 6 integral0^1 - x (1 - x - y) , dy . Integramos a densidade conjunta em relação a = 6 [ (1 - x)y - y^22 ]0^1 - x :
= 6 [ (1 - x)(1 - x) - (1 - x)^22 ]
Resolvendo a integral:
= 6 [ (1 - x)^22 ] = 3(1 - x)^2
Então, a densidade marginal de é .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a densidade condicional fY mid X(y mid x) = f(x, y)fX(x) usando a mesma fórmula:
fY mid X(y mid x) = 6(1 - x - y)3(1 - x)^2 = 2(1 - x - y)(1 - x)^2
Substituindo os valores encontrados:
Então, a densidade condicional de dado é .

Resposta

As funções densidades condicionais são:
fX mid Y(x mid y) = 2(1 - x - y)(1 - y)^2
e
fY mid X(y mid x) = 2(1 - x - y)(1 - x)^2

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