Suponha que as variáveis aleatórias X e Y tenham função densidade de probabilidade conjunta f(x, y)= e^-(x+y) I(x>0, y>0).
Calcule rho(X, Y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, e , com uma função densidade de probabilidade conjunta dada por para e . Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente de correlação entre e , que é representado por . Para isso, vamos precisar entender conceitos como funções marginais, esperança matemática (média), variância e covariância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as funções densidade marginais de fX(x) = integral0^infty f(x, y) , dy = integral0^infty e^-(x+y) , dy = e^-x integral0^infty e^-y , dy = e^-x cdot 1 = e^-x e fY(y) = integral0^infty f(x, y) , dx = integral0^infty e^-(x+y) , dx = e^-y integral0^infty e^-x , dx = e^-y cdot 1 = e^-y . Isso significa que vamos integrar a função conjunta em relação uma das variáveis para obter a função de cada variável individualmente.
Para :
Para :
Então, as densidades marginais de e são e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular as esperanças matemáticas (médias) e as variâncias de E[X] = integral0^infty x cdot fX(x) , dx = integral0^infty x e^-x , dx = 1 e Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = integral0^infty x^2 e^-x , dx - 1^2 = 2 - 1 = 1 .
Para a esperança de :
Da mesma forma, .
Para a variância de :
E, analogamente, .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a covariância entre Cov(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] e E[XY] = integral0^infty integral0^infty xy cdot f(x, y) , dx , dy = integral0^infty integral0^infty xy e^-(x+y) , dx , dy . A covariância nos mostra como duas variáveis variam juntas.
E[XY] = E[X] cdot E[Y] = 1 cdot 1 = 1
Primeiro, calculamos Cov(X, Y) = 1 - (1)(1) = 0 :
Como e são independentes (porque ), temos:
Portanto:

Passo 5

Agora, com a covariância rho(X, Y) = Cov(X, Y)raizVar(X)Var(Y) e as variâncias rho(X, Y) = 0raiz1 cdot 1 = 0 , podemos calcular o coeficiente de correlação usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

O coeficiente de correlação entre e é .

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