Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham função densidade de probabilidade conjunta
.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias,
e
, com uma função densidade de probabilidade conjunta dada por
para
e
. Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente de correlação entre
e
, que é representado por
. Para isso, vamos precisar entender conceitos como funções marginais, esperança matemática (média), variância e covariância.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as funções densidade marginais de
e
. Isso significa que vamos integrar a função conjunta em relação uma das variáveis para obter a função de cada variável individualmente.
Para
:
Para
:
Então, as densidades marginais de
e
são
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, vamos calcular as esperanças matemáticas (médias) e as variâncias de
e
.
Para a esperança de
:
Da mesma forma,
.
Para a variância de
:
E, analogamente,
.
Passo 4
Em seguida, vamos encontrar a covariância entre
e
. A covariância nos mostra como duas variáveis variam juntas.
Primeiro, calculamos
:
Como
e
são independentes (porque
), temos:
Portanto:
Passo 5
Agora, com a covariância
e as variâncias
, podemos calcular o coeficiente de correlação
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O coeficiente de correlação entre
e
é
.
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Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham função densidade de probabilidade conjunta
.
Calcule .
Calcule
Suponha que as variáveis aleatórias
e
tenham função densidade de probabilidade conjunta
.
Calcule as fdp marginais de e
.
Calcule as fdp marginais de
Suponha que a densidade de
seja dada por:
, com
e
. Determine as funções densidades condicionais
e
.
Uma caiza retangular sem tampa tem arestas medindo
. Determine as medidas das arestas da caixa de área mínima com volume igual a 32.