Suponha que as variáveis aleatórias e tenham função densidade de probabilidade conjunta .
Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis aleatórias, e , com uma função densidade de probabilidade conjunta dada por para e . Nosso objetivo aqui é calcular o coeficiente de correlação entre e , que é representado por . Para isso, vamos precisar entender conceitos como funções marginais, esperança matemática (média), variância e covariância.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as funções densidade marginais de e . Isso significa que vamos integrar a função conjunta em relação uma das variáveis para obter a função de cada variável individualmente.
Para :
Para :
Então, as densidades marginais de e são e , respectivamente.

Passo 3

Agora, vamos calcular as esperanças matemáticas (médias) e as variâncias de e .
Para a esperança de :
Da mesma forma, .
Para a variância de :
E, analogamente, .

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar a covariância entre e . A covariância nos mostra como duas variáveis variam juntas.
Primeiro, calculamos :
Como e são independentes (porque ), temos:
Portanto:

Passo 5

Agora, com a covariância e as variâncias , podemos calcular o coeficiente de correlação usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

O coeficiente de correlação entre e é .

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Calcule .
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